Номер 813, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

813. В коробке лежит 8 красных и 4 синих карандаша. Наугад вынимают 2 карандаша. Какова вероятность того, что оба карандаша окажутся красными?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Пусть событие $A$ заключается в том, что оба вынутых карандаша окажутся красными. Вероятность этого события вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов, $n$. В коробке находится 8 красных и 4 синих карандаша, то есть всего $8 + 4 = 12$ карандашей. Нам нужно выбрать 2 карандаша из 12. Порядок выбора не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Общее число способов выбрать 2 карандаша из 12 равно:

$n = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 66$

Таким образом, существует 66 равновозможных способов вынуть 2 карандаша из коробки.

2. Найдем число благоприятствующих исходов, $m$. Благоприятствующий исход — это когда оба вынутых карандаша оказываются красными. В коробке 8 красных карандашей. Число способов выбрать 2 красных карандаша из 8 равно:

$m = C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 28$

Итак, существует 28 способов вынуть 2 красных карандаша.

3. Вычислим искомую вероятность $P(A)$:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{28}{66}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(A) = \frac{14}{33}$

Ответ: $\frac{14}{33}$