Номер 815, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

815. В треугольнике $ABC$ проведён отрезок $DE$, параллельный $AB$ (рис. 85). Известно, что $DE = \frac{1}{3}AB$. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка треугольника $ABC$ окажется принадлежащей треугольнику $CDE$?

Вероятность того, что случайно выбранная точка из треугольника $ABC$ окажется принадлежащей треугольнику $CDE$, в задачах на геометрическую вероятность определяется как отношение площади "благоприятной" области (треугольник $CDE$) к площади всей области (треугольник $ABC$).

Пусть $S_{ABC}$ — это площадь треугольника $ABC$, а $S_{CDE}$ — площадь треугольника $CDE$. Тогда искомая вероятность $P$ равна:

$P = \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}$

Рассмотрим треугольники $\triangle CDE$ и $\triangle CAB$. Так как по условию отрезок $DE$ параллелен стороне $AB$ ($DE \parallel AB$), то эти треугольники подобны. У них общий угол $\angle C$, а углы $\angle CDE$ и $\angle CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$. Таким образом, $\triangle CDE \sim \triangle CAB$ по двум углам.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия $k$.

$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2$

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон. Возьмем стороны $DE$ и $AB$:

$k = \frac{DE}{AB}$

По условию задачи дано, что $DE = \frac{1}{3}AB$. Следовательно, мы можем найти коэффициент подобия:

$k = \frac{\frac{1}{3}AB}{AB} = \frac{1}{3}$

Теперь подставим значение коэффициента подобия в формулу для отношения площадей:

$P = \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Таким образом, вероятность того, что случайным образом выбранная точка из треугольника $ABC$ окажется принадлежащей треугольнику $CDE$, составляет $\frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$