Номер 814, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

814. (Задача-исследование.) Три подруги Аня, Вера и Маша отправились в театр. Получив в гардеробе номерки за три сданных пальто, они сложили их вместе. По окончании спектакля каждая из подруг взяла наугад один номерок и получила по нему пальто. Какова вероятность того, что:

а) только Аня получила своё пальто;

б) Вера не получила своего пальто?

1) Введите обозначения для следующих событий: «по предъявленному номерку получено Анино пальто», «по предъявленному номерку получено Верино пальто», «по предъявленному номерку получено Машино пальто».

2) Предположив, что номерки предъявляют последовательно Аня, Вера и Маша, выпишите все равновозможные исходы. Подсчитайте их число.

3) Укажите исходы, благоприятные для события «только Аня получила своё пальто». Какова вероятность этого события?

4) Укажите исходы, благоприятные для события «Вера не получила своего пальто». Какова вероятность этого события?

1) Введите обозначения для следующих событий: «по предъявленному номерку получено Анино пальто», «по предъявленному номерку получено Верино пальто», «по предъявленному номерку получено Машино пальто».

Обозначим имена подруг и, соответственно, их пальто, первыми буквами имен: А — Аня и её пальто, В — Вера и её пальто, М — Маша и её пальто.

Введем обозначения для элементарных событий, связанных с получением конкретного пальто, как и предложено в задании:

• А: «по предъявленному номерку получено Анино пальто»
• В: «по предъявленному номерку получено Верино пальто»
• М: «по предъявленному номерку получено Машино пальто»

Ответ: Обозначим события: А – «по предъявленному номерку получено Анино пальто», В – «по предъявленному номерку получено Верино пальто», М – «по предъявленному номерку получено Машино пальто».

2) Предположив, что номерки предъявляют последовательно Аня, Вера и Маша, выпишите все равновозможные исходы. Подсчитайте их число.

Исход эксперимента — это упорядоченная тройка, в которой указано, какое пальто получила каждая из подруг. На первом месте будем записывать пальто, полученное Аней, на втором — Верой, на третьем — Машей. Используем введенные в пункте 1 обозначения для пальто (А, В, М).

Общее число возможных способов распределить три различных пальто между тремя подругами равно числу перестановок из трех элементов, то есть $3!$ (три факториал).

Общее число равновозможных исходов $n = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Выпишем все 6 равновозможных исходов:

1. (А, В, М): Аня получила свое пальто, Вера — свое, Маша — свое.
2. (А, М, В): Аня получила свое пальто, Вера — пальто Маши, Маша — пальто Веры.
3. (В, А, М): Аня получила пальто Веры, Вера — пальто Ани, Маша — свое.
4. (В, М, А): Аня получила пальто Веры, Вера — пальто Маши, Маша — пальто Ани.
5. (М, А, В): Аня получила пальто Маши, Вера — пальто Ани, Маша — пальто Веры.
6. (М, В, А): Аня получила пальто Маши, Вера — свое, Маша — пальто Ани.

Ответ: Всего 6 равновозможных исходов: (А, В, М), (А, М, В), (В, А, М), (В, М, А), (М, А, В), (М, В, А).

3) Укажите исходы, благоприятные для события «только Аня получила своё пальто». Какова вероятность этого события?

Событие «только Аня получила своё пальто» наступает, если Аня получает пальто А, а Вера и Маша получают не свои пальто. Проанализируем список всех исходов из пункта 2:

• (А, В, М) — не подходит, так как Вера и Маша тоже получили свои пальто.
• (А, М, В) — подходит. Аня получила свое пальто (А), Вера получила пальто Маши (М), а не свое (В), и Маша получила пальто Веры (В), а не свое (М).
• (В, А, М) — не подходит, Аня получила не свое пальто.
• (В, М, А) — не подходит, Аня получила не свое пальто.
• (М, А, В) — не подходит, Аня получила не свое пальто.
• (М, В, А) — не подходит, Аня получила не свое пальто.

Таким образом, существует только один благоприятный исход: (А, М, В). Число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

Поскольку общее число исходов $n=6$, а число благоприятных исходов $m=1$, то искомая вероятность равна:

$P(\text{только Аня получила своё пальто}) = \frac{1}{6}$.

Ответ: Благоприятный исход: (А, М, В). Вероятность этого события равна $\frac{1}{6}$.

4) Укажите исходы, благоприятные для события «Вера не получила своего пальто». Какова вероятность этого события?

Событие «Вера не получила своего пальто» наступает, если пальто, которое получила Вера (второй элемент в тройке), не является пальто В. Проанализируем список всех исходов:

• (А, В, М) — не подходит, Вера получила свое пальто (В).
• (А, М, В) — подходит, Вера получила пальто Маши (М).
• (В, А, М) — подходит, Вера получила пальто Ани (А).
• (В, М, А) — подходит, Вера получила пальто Маши (М).
• (М, А, В) — подходит, Вера получила пальто Ани (А).
• (М, В, А) — не подходит, Вера получила свое пальто (В).

Таким образом, существует четыре благоприятных исхода: (А, М, В), (В, А, М), (В, М, А), (М, А, В). Число благоприятных исходов $m=4$.

Общее число исходов по-прежнему $n=6$. Вероятность данного события равна:

$P(\text{Вера не получила своего пальто}) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Благоприятные исходы: (А, М, В), (В, А, М), (В, М, А), (М, А, В). Вероятность этого события равна $\frac{2}{3}$.