Номер 811, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

811. В ящике находится 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?

Для решения этой задачи определим общее количество возможных исходов и количество исходов, благоприятствующих нашему событию. Вероятность события будет равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов.

Всего в ящике 10 деталей. Мы выбираем из них 2 детали случайным образом. Порядок выбора не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно:

$n = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Таким образом, существует 45 различных пар деталей, которые можно вытащить из ящика.

2. Найдем число благоприятных исходов.

Нас интересует событие, при котором обе взятые детали окажутся стандартными. По условию, в ящике 10 деталей и одна из них нестандартная. Значит, стандартных деталей в ящике: $10 - 1 = 9$.

Число способов выбрать 2 стандартные детали из 9 имеющихся стандартных деталей также вычисляется по формуле сочетаний:

$m = C_{9}^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

Следовательно, существует 36 пар стандартных деталей.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ того, что обе детали окажутся стандартными, равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$P = \frac{m}{n} = \frac{36}{45}$

Сократим полученную дробь на 9:

$P = \frac{36 \div 9}{45 \div 9} = \frac{4}{5}$

Альтернативный способ решения:

Можно рассчитать вероятность последовательного извлечения двух стандартных деталей.

Вероятность того, что первая извлеченная деталь будет стандартной, равна $\frac{9}{10}$ (так как в ящике 9 стандартных из 10).

После того как была извлечена одна стандартная деталь, в ящике осталось 9 деталей, из которых 8 стандартных. Вероятность извлечь вторую стандартную деталь при условии, что первая была стандартной, равна $\frac{8}{9}$.

Чтобы найти вероятность того, что оба события произойдут, нужно перемножить их вероятности:

$P = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{72}{90} = \frac{4}{5}$

Ответ: Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, равна $\frac{4}{5}$ или 0.8.