Номер 812, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

812. Три билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что все билеты достанутся девочкам?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

1. Определение общего числа исходов (n).

Сначала найдем общее количество детей, участвующих в жребии: 15 мальчиков + 12 девочек = 27 детей.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 3-х детей из 27, которым достанутся билеты. Поскольку порядок выбора детей не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее число детей $n=27$, а количество билетов $k=3$.

$n = C_{27}^3 = \frac{27!}{3!(27-3)!} = \frac{27!}{3! \cdot 24!} = \frac{25 \cdot 26 \cdot 27}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 13 \cdot 9 = 2925$

Таким образом, существует 2925 способов распределить 3 билета среди 27 детей.

2. Определение числа благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход — это событие, при котором все три билета достаются девочкам. Всего в группе 12 девочек.

Число благоприятных исходов — это количество способов выбрать 3-х девочек из 12. Снова применяем формулу сочетаний:

$m = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220$

Следовательно, существует 220 способов, при которых все три билета получат девочки.

3. Расчет вероятности.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем рассчитать искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{220}{2925}$

Для упрощения дроби разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Оба числа делятся на 5:

$P = \frac{220 \div 5}{2925 \div 5} = \frac{44}{585}$

Разложим на простые множители числитель и знаменатель, чтобы убедиться, что дробь несократима: $44 = 2^2 \cdot 11$ и $585 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13$. Общих множителей нет, значит, дробь является окончательным ответом.

Ответ: $\frac{44}{585}$.