Номер 818, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

818. Пересекаются ли парабола $y = 2x^2 - 6x$ и прямая $y = 10x$? Если да, то укажите координаты точек пересечения.

Чтобы определить, пересекаются ли графики функций, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и прямой.

Даны уравнения:

Парабола: $y = 2x^2 - 6x$

Прямая: $y = 10x$

В точках пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$2x^2 - 6x = 10x$

Для решения полученного уравнения перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 6x - 10x = 0$

$2x^2 - 16x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, вынеся за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных значения для $x$:

1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $x - 8 = 0 \implies x_2 = 8$

Поскольку уравнение имеет два действительных корня, это означает, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Теперь найдем соответствующие $y$-координаты для каждой точки, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = 10x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 10 \cdot 0 = 0$

Координаты первой точки пересечения: $(0; 0)$.

Для $x_2 = 8$:

$y_2 = 10 \cdot 8 = 80$

Координаты второй точки пересечения: $(8; 80)$.

Ответ: Да, парабола и прямая пересекаются. Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $(8; 80)$.