Номер 819, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

819. Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{25-x^2} = 0;$

б) $\frac{7x}{x^2-36} + \frac{3}{6-x} = \frac{7}{x+6}.$

а) $\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{25-x^2} = 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$25-x^2 \neq 0 \implies (5-x)(5+x) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 5$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $25-x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{-(x^2-25)} = 0$

$\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} - \frac{76}{x^2-25} = 0$

Общий знаменатель: $(x-5)(x+5)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$x(x+5) - 4(x-5) - 76 = 0$

3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 4x + 20 - 76 = 0$

$x^2 + x - 56 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант.

Используем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

4. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.

Оба корня, $x=7$ и $x=-8$, не равны $\pm 5$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -8$.

б) $\frac{7x}{x^2-36} + \frac{3}{6-x} = \frac{7}{x+6}$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x^2-36 \neq 0 \implies (x-6)(x+6) \neq 0 \implies x \neq 6$ и $x \neq -6$.

$6-x \neq 0 \implies x \neq 6$.

$x+6 \neq 0 \implies x \neq -6$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 6$.

2. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Заметим, что $x^2-36 = (x-6)(x+6)$ и $6-x = -(x-6)$.

$\frac{7x}{(x-6)(x+6)} + \frac{3}{-(x-6)} - \frac{7}{x+6} = 0$

$\frac{7x}{(x-6)(x+6)} - \frac{3}{x-6} - \frac{7}{x+6} = 0$

Общий знаменатель: $(x-6)(x+6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$7x - 3(x+6) - 7(x-6) = 0$

3. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$7x - 3x - 18 - 7x + 42 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(7x - 3x - 7x) + (-18 + 42) = 0$

$-3x + 24 = 0$

$-3x = -24$

$x = \frac{-24}{-3}$

$x = 8$

4. Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ.

Корень $x=8$ не равен $\pm 6$, следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $x = 8$.