Страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

814. (Задача-исследование.) Три подруги Аня, Вера и Маша отправились в театр. Получив в гардеробе номерки за три сданных пальто, они сложили их вместе. По окончании спектакля каждая из подруг взяла наугад один номерок и получила по нему пальто. Какова вероятность того, что:

а) только Аня получила своё пальто;

б) Вера не получила своего пальто?

1) Введите обозначения для следующих событий: «по предъявленному номерку получено Анино пальто», «по предъявленному номерку получено Верино пальто», «по предъявленному номерку получено Машино пальто».

2) Предположив, что номерки предъявляют последовательно Аня, Вера и Маша, выпишите все равновозможные исходы. Подсчитайте их число.

3) Укажите исходы, благоприятные для события «только Аня получила своё пальто». Какова вероятность этого события?

4) Укажите исходы, благоприятные для события «Вера не получила своего пальто». Какова вероятность этого события?

1) Введите обозначения для следующих событий: «по предъявленному номерку получено Анино пальто», «по предъявленному номерку получено Верино пальто», «по предъявленному номерку получено Машино пальто».

Обозначим имена подруг и, соответственно, их пальто, первыми буквами имен: А — Аня и её пальто, В — Вера и её пальто, М — Маша и её пальто.

Введем обозначения для элементарных событий, связанных с получением конкретного пальто, как и предложено в задании:

• А: «по предъявленному номерку получено Анино пальто»
• В: «по предъявленному номерку получено Верино пальто»
• М: «по предъявленному номерку получено Машино пальто»

Ответ: Обозначим события: А – «по предъявленному номерку получено Анино пальто», В – «по предъявленному номерку получено Верино пальто», М – «по предъявленному номерку получено Машино пальто».

2) Предположив, что номерки предъявляют последовательно Аня, Вера и Маша, выпишите все равновозможные исходы. Подсчитайте их число.

Исход эксперимента — это упорядоченная тройка, в которой указано, какое пальто получила каждая из подруг. На первом месте будем записывать пальто, полученное Аней, на втором — Верой, на третьем — Машей. Используем введенные в пункте 1 обозначения для пальто (А, В, М).

Общее число возможных способов распределить три различных пальто между тремя подругами равно числу перестановок из трех элементов, то есть $3!$ (три факториал).

Общее число равновозможных исходов $n = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Выпишем все 6 равновозможных исходов:

1. (А, В, М): Аня получила свое пальто, Вера — свое, Маша — свое.
2. (А, М, В): Аня получила свое пальто, Вера — пальто Маши, Маша — пальто Веры.
3. (В, А, М): Аня получила пальто Веры, Вера — пальто Ани, Маша — свое.
4. (В, М, А): Аня получила пальто Веры, Вера — пальто Маши, Маша — пальто Ани.
5. (М, А, В): Аня получила пальто Маши, Вера — пальто Ани, Маша — пальто Веры.
6. (М, В, А): Аня получила пальто Маши, Вера — свое, Маша — пальто Ани.

Ответ: Всего 6 равновозможных исходов: (А, В, М), (А, М, В), (В, А, М), (В, М, А), (М, А, В), (М, В, А).

3) Укажите исходы, благоприятные для события «только Аня получила своё пальто». Какова вероятность этого события?

Событие «только Аня получила своё пальто» наступает, если Аня получает пальто А, а Вера и Маша получают не свои пальто. Проанализируем список всех исходов из пункта 2:

• (А, В, М) — не подходит, так как Вера и Маша тоже получили свои пальто.
• (А, М, В) — подходит. Аня получила свое пальто (А), Вера получила пальто Маши (М), а не свое (В), и Маша получила пальто Веры (В), а не свое (М).
• (В, А, М) — не подходит, Аня получила не свое пальто.
• (В, М, А) — не подходит, Аня получила не свое пальто.
• (М, А, В) — не подходит, Аня получила не свое пальто.
• (М, В, А) — не подходит, Аня получила не свое пальто.

Таким образом, существует только один благоприятный исход: (А, М, В). Число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

Поскольку общее число исходов $n=6$, а число благоприятных исходов $m=1$, то искомая вероятность равна:

$P(\text{только Аня получила своё пальто}) = \frac{1}{6}$.

Ответ: Благоприятный исход: (А, М, В). Вероятность этого события равна $\frac{1}{6}$.

4) Укажите исходы, благоприятные для события «Вера не получила своего пальто». Какова вероятность этого события?

Событие «Вера не получила своего пальто» наступает, если пальто, которое получила Вера (второй элемент в тройке), не является пальто В. Проанализируем список всех исходов:

• (А, В, М) — не подходит, Вера получила свое пальто (В).
• (А, М, В) — подходит, Вера получила пальто Маши (М).
• (В, А, М) — подходит, Вера получила пальто Ани (А).
• (В, М, А) — подходит, Вера получила пальто Маши (М).
• (М, А, В) — подходит, Вера получила пальто Ани (А).
• (М, В, А) — не подходит, Вера получила свое пальто (В).

Таким образом, существует четыре благоприятных исхода: (А, М, В), (В, А, М), (В, М, А), (М, А, В). Число благоприятных исходов $m=4$.

Общее число исходов по-прежнему $n=6$. Вероятность данного события равна:

$P(\text{Вера не получила своего пальто}) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Благоприятные исходы: (А, М, В), (В, А, М), (В, М, А), (М, А, В). Вероятность этого события равна $\frac{2}{3}$.

815. В треугольнике $ABC$ проведён отрезок $DE$, параллельный $AB$ (рис. 85). Известно, что $DE = \frac{1}{3}AB$. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка треугольника $ABC$ окажется принадлежащей треугольнику $CDE$?

Вероятность того, что случайно выбранная точка из треугольника $ABC$ окажется принадлежащей треугольнику $CDE$, в задачах на геометрическую вероятность определяется как отношение площади "благоприятной" области (треугольник $CDE$) к площади всей области (треугольник $ABC$).

Пусть $S_{ABC}$ — это площадь треугольника $ABC$, а $S_{CDE}$ — площадь треугольника $CDE$. Тогда искомая вероятность $P$ равна:

$P = \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}$

Рассмотрим треугольники $\triangle CDE$ и $\triangle CAB$. Так как по условию отрезок $DE$ параллелен стороне $AB$ ($DE \parallel AB$), то эти треугольники подобны. У них общий угол $\angle C$, а углы $\angle CDE$ и $\angle CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$. Таким образом, $\triangle CDE \sim \triangle CAB$ по двум углам.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия $k$.

$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2$

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон. Возьмем стороны $DE$ и $AB$:

$k = \frac{DE}{AB}$

По условию задачи дано, что $DE = \frac{1}{3}AB$. Следовательно, мы можем найти коэффициент подобия:

$k = \frac{\frac{1}{3}AB}{AB} = \frac{1}{3}$

Теперь подставим значение коэффициента подобия в формулу для отношения площадей:

$P = \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Таким образом, вероятность того, что случайным образом выбранная точка из треугольника $ABC$ окажется принадлежащей треугольнику $CDE$, составляет $\frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

816. Пункты $A$ и $B$ находятся друг от друга на расстоянии 2,5 км. Телефонная линия, соединяющая эти пункты, оборвалась в неизвестном месте. Какова вероятность того, что точка разрыва удалена от точки $A$ не более чем на 500 м?

Данная задача решается с помощью геометрического определения вероятности. В этом случае вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае длины), благоприятствующей событию, к мере всего пространства элементарных исходов.

1. Определим пространство элементарных исходов.
Телефонная линия, соединяющая пункты А и В, представляет собой отрезок. Разрыв может произойти в любой точке этого отрезка. Таким образом, пространство всех возможных исходов — это длина всей телефонной линии. Общая длина линии $L$ равна расстоянию между А и В: $L = 2,5 \text{ км}$

2. Определим благоприятные исходы.
Благоприятным событием является разрыв линии на участке, который удален от точки А не более чем на 500 м. Это означает, что разрыв должен произойти на отрезке длиной 500 м, начинающемся от точки А. Длина благоприятного участка $l$: $l = 500 \text{ м}$

3. Приведем единицы измерения к единой системе.
Для корректного расчета необходимо, чтобы обе длины были в одинаковых единицах. Переведем километры в метры: $L = 2,5 \text{ км} = 2,5 \times 1000 \text{ м} = 2500 \text{ м}$

4. Вычислим вероятность.
Вероятность $P$ искомого события равна отношению длины благоприятного участка $l$ к общей длине линии $L$: $P = \frac{l}{L}$ Подставляем числовые значения: $P = \frac{500 \text{ м}}{2500 \text{ м}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: 0,2

Рис. 85

817. На координатной прямой отмечены точки $A(0)$ и $B(3)$. На отрезке $AB$ наугад выбрана точка $C(x)$. Какова вероятность того, что $0 \leq x \leq 1,2$?

Эта задача решается с помощью геометрического определения вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, длины) множества благоприятствующих исходов к мере всего множества возможных исходов.

1. Определение пространства всех исходов.
Точка $C(x)$ выбирается наугад на отрезке $AB$. Координаты точек $A(0)$ и $B(3)$. Следовательно, весь отрезок $AB$ является пространством всех возможных исходов. Длина этого отрезка $L$ равна разности координат его концов: $L = |3 - 0| = 3$.

2. Определение пространства благоприятствующих исходов.
Благоприятствующим является событие, при котором координата $x$ точки $C$ удовлетворяет неравенству $0 \leq x \leq 1,2$. Это означает, что точка $C$ должна принадлежать отрезку с концами в точках с координатами 0 и 1,2. Длина этого благоприятствующего отрезка $l$ равна: $l = |1,2 - 0| = 1,2$.

3. Вычисление вероятности.
Вероятность $P$ данного события равна отношению длины благоприятствующего отрезка $l$ к длине всего отрезка $L$: $P = \frac{l}{L} = \frac{1,2}{3}$.

Для удобства вычислений можно избавиться от десятичной дроби в числителе, умножив числитель и знаменатель на 10: $P = \frac{1,2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{12}{30}$.

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 30 равен 6: $P = \frac{12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{2}{5}$.

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $P = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: $0,4$.

818. Пересекаются ли парабола $y = 2x^2 - 6x$ и прямая $y = 10x$? Если да, то укажите координаты точек пересечения.

Чтобы определить, пересекаются ли графики функций, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и прямой.

Даны уравнения:

Парабола: $y = 2x^2 - 6x$

Прямая: $y = 10x$

В точках пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$2x^2 - 6x = 10x$

Для решения полученного уравнения перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 6x - 10x = 0$

$2x^2 - 16x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, вынеся за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных значения для $x$:

1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $x - 8 = 0 \implies x_2 = 8$

Поскольку уравнение имеет два действительных корня, это означает, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Теперь найдем соответствующие $y$-координаты для каждой точки, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = 10x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 10 \cdot 0 = 0$

Координаты первой точки пересечения: $(0; 0)$.

Для $x_2 = 8$:

$y_2 = 10 \cdot 8 = 80$

Координаты второй точки пересечения: $(8; 80)$.

Ответ: Да, парабола и прямая пересекаются. Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $(8; 80)$.

819. Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{25-x^2} = 0;$

б) $\frac{7x}{x^2-36} + \frac{3}{6-x} = \frac{7}{x+6}.$

а) $\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{25-x^2} = 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$25-x^2 \neq 0 \implies (5-x)(5+x) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 5$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $25-x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{-(x^2-25)} = 0$

$\frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} - \frac{76}{x^2-25} = 0$

Общий знаменатель: $(x-5)(x+5)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$x(x+5) - 4(x-5) - 76 = 0$

3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 4x + 20 - 76 = 0$

$x^2 + x - 56 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант.

Используем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

4. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.

Оба корня, $x=7$ и $x=-8$, не равны $\pm 5$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -8$.

б) $\frac{7x}{x^2-36} + \frac{3}{6-x} = \frac{7}{x+6}$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x^2-36 \neq 0 \implies (x-6)(x+6) \neq 0 \implies x \neq 6$ и $x \neq -6$.

$6-x \neq 0 \implies x \neq 6$.

$x+6 \neq 0 \implies x \neq -6$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 6$.

2. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Заметим, что $x^2-36 = (x-6)(x+6)$ и $6-x = -(x-6)$.

$\frac{7x}{(x-6)(x+6)} + \frac{3}{-(x-6)} - \frac{7}{x+6} = 0$

$\frac{7x}{(x-6)(x+6)} - \frac{3}{x-6} - \frac{7}{x+6} = 0$

Общий знаменатель: $(x-6)(x+6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$7x - 3(x+6) - 7(x-6) = 0$

3. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$7x - 3x - 18 - 7x + 42 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(7x - 3x - 7x) + (-18 + 42) = 0$

$-3x + 24 = 0$

$-3x = -24$

$x = \frac{-24}{-3}$

$x = 8$

4. Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ.

Корень $x=8$ не равен $\pm 6$, следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $x = 8$.