Номер 833, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

833. Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четвёрками и двумя единицами.

Для решения этой задачи необходимо найти все возможные пятизначные числа, которые можно составить из набора цифр: три четвёрки (4, 4, 4) и две единицы (1, 1). Это является задачей на нахождение числа перестановок с повторениями.

Общее количество цифр в числе — 5. Так как в наборе нет нуля, любая перестановка этих пяти цифр будет образовывать корректное пятизначное число.

Общее количество таких уникальных чисел можно рассчитать по формуле для перестановок с повторениями:$N = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2!}$где $n$ — общее количество цифр, $k_1$ — количество повторений одной цифры, $k_2$ — количество повторений другой цифры.

В нашем случае $n=5$ (всего пять цифр), $k_1=3$ (три четвёрки), $k_2=2$ (две единицы).Подставим эти значения в формулу:$N = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 2)} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$.Таким образом, существует ровно 10 таких чисел.

Чтобы выписать все эти числа, мы можем последовательно определить все возможные положения для двух единиц на пяти позициях. Оставшиеся три позиции будут заняты четвёрками. Получим следующий список чисел:

1. Единицы на 1-й и 2-й позициях: 11444
2. Единицы на 1-й и 3-й позициях: 14144
3. Единицы на 1-й и 4-й позициях: 14414
4. Единицы на 1-й и 5-й позициях: 14441
5. Единицы на 2-й и 3-й позициях: 41144
6. Единицы на 2-й и 4-й позициях: 41414
7. Единицы на 2-й и 5-й позициях: 41441
8. Единицы на 3-й и 4-й позициях: 44114
9. Единицы на 3-й и 5-й позициях: 44141
10. Единицы на 4-й и 5-й позициях: 44411

Ответ: 11444, 14144, 14414, 14441, 41144, 41414, 41441, 44114, 44141, 44411.