Номер 836, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

836. Делится ли число $50!$ на:

а) 100;

б) 305;

в) 1550?

Чтобы определить, делится ли число $50!$ на заданное число, нужно разложить это число на простые множители и проверить, содержатся ли эти множители в произведении $50! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 50$. Число $50!$ делится на любое число, все простые множители которого (с учетом их степеней) можно найти среди сомножителей от 1 до 50.

а) 100
Разложим число 100 на множители: $100 = 10 \times 10 = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25$. Число $50!$ по определению является произведением всех натуральных чисел от 1 до 50. Среди множителей в этом произведении есть и число 4, и число 25. Поскольку $4$ и $25$ являются множителями в разложении $50!$, то их произведение $4 \times 25 = 100$ также является делителем числа $50!$.
Ответ: да, делится.

б) 305
Разложим число 305 на простые множители. Число оканчивается на 5, поэтому оно делится на 5: $305 = 5 \times 61$. Число 61 является простым. Для того чтобы $50!$ делилось на 305, оно должно делиться на все его простые множители, то есть на 5 и на 61. В разложении числа $50!$ на простые множители могут содержаться только простые числа, не превосходящие 50. Поскольку $61 > 50$, простое число 61 не является множителем в разложении $50!$, а значит, $50!$ не делится на 61. Следовательно, $50!$ не делится и на 305.
Ответ: нет, не делится.

в) 1550
Разложим число 1550 на простые множители: $1550 = 155 \times 10 = (5 \times 31) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 31$. Таким образом, $1550 = 2 \times 25 \times 31$. Проверим, содержатся ли множители 2, 25 и 31 в произведении $1 \times 2 \times \dots \times 50$.

• Множитель 2 присутствует в произведении.
• Множитель 25 ($=5^2$) присутствует в произведении.
• Множитель 31 (простое число) присутствует в произведении.

Поскольку числа 2, 25 и 31 являются сомножителями в $50!$ и они взаимно простые, то их произведение $2 \times 25 \times 31 = 1550$ также будет делителем $50!$.
Ответ: да, делится.