Номер 842, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

842. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

Для решения этой задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Логический подход

У Антона есть 6 друзей. Для каждого из них существует две независимые возможности: друг либо будет приглашен, либо не будет.

Таким образом, общее количество всех возможных комбинаций приглашения (включая случай, когда никто не приглашен) равно произведению числа возможностей для каждого друга:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6 = 64$

В это число (64) входит один случай, который не соответствует условию задачи — это случай, когда Антон не приглашает никого. По условию, он должен пригласить "одного или нескольких" друзей. Следовательно, мы должны вычесть этот единственный вариант из общего числа.

$64 - 1 = 63$

Способ 2: Комбинаторный подход

Задача сводится к нахождению количества всех возможных непустых подмножеств в множестве из 6 элементов (друзей). Мы можем посчитать, сколькими способами можно пригласить 1 друга, 2 друзей, 3 друзей и так далее до 6, а затем сложить все эти варианты.

Число способов выбрать $k$ элементов из $n$ вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

• Число способов пригласить 1 друга: $C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$
• Число способов пригласить 2 друзей: $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$
• Число способов пригласить 3 друзей: $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
• Число способов пригласить 4 друзей: $C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = C_6^2 = 15$
• Число способов пригласить 5 друзей: $C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = C_6^1 = 6$
• Число способов пригласить всех 6 друзей: $C_6^6 = \frac{6!}{6!(6-6)!} = 1$

Теперь сложим все эти варианты:

$6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 63