Номер 847, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

847. Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если бы туристов было на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько туристов в группе?

Пусть $n$ – это первоначальное количество туристов в группе. Из группы требуется выбрать двух человек на две разные должности: дежурного и его помощника. Поскольку роли различны (выбор "Турист А - дежурный, Турист Б - помощник" отличается от выбора "Турист Б - дежурный, Турист А - помощник"), порядок выбора важен. Следовательно, мы используем формулу для числа размещений.

Число способов выбрать дежурного и помощника из $n$ туристов равно числу размещений из $n$ по 2:

$A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$

Согласно условию, если бы туристов было на одного больше, то есть их стало бы $n+1$, то число возможностей выбора увеличилось бы в 1,25 раза.

Число способов выбрать дежурного и помощника из $n+1$ туриста вычисляется аналогично:

$A_{n+1}^2 = \frac{(n+1)!}{(n+1-2)!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = (n+1)n$

Теперь мы можем составить уравнение на основе условия задачи: новое число способов в 1,25 раза больше старого.

$A_{n+1}^2 = 1.25 \cdot A_n^2$

Подставим выражения для размещений в уравнение:

$n(n+1) = 1.25 \cdot n(n-1)$

Поскольку для выбора двух человек количество туристов $n$ должно быть не меньше 2, мы можем с уверенностью сказать, что $n \neq 0$, и разделить обе части уравнения на $n$:

$n+1 = 1.25(n-1)$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$n+1 = 1.25n - 1.25$

Перенесем все слагаемые с $n$ в правую часть, а константы – в левую:

$1 + 1.25 = 1.25n - n$

$2.25 = 0.25n$

Чтобы найти $n$, разделим обе части на 0.25:

$n = \frac{2.25}{0.25} = \frac{225}{25} = 9$

Таким образом, в группе было 9 туристов.

Выполним проверку.
При $n=9$ туристах число способов выбора равно $9 \cdot (9-1) = 9 \cdot 8 = 72$.
При $n+1=10$ туристах число способов выбора равно $10 \cdot (10-1) = 10 \cdot 9 = 90$.
Найдем отношение нового числа способов к старому: $\frac{90}{72} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$.
Условие выполняется, значит, задача решена верно.

Ответ: в группе 9 туристов.