Номер 843, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

843. Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

Пусть $n$ — количество команд, участвовавших в финале.

По условию, каждая команда сыграла с каждой из остальных. Это означает, что для любой команды число ее соперников равно $n-1$.

Каждая пара команд играет между собой две игры: одну на своем поле и одну на поле соперника.

Рассмотрим общее количество игр. Каждая из $n$ команд проводит игры с $n-1$ соперниками. Поскольку для каждой такой пары соперников проводится две игры, можно было бы подумать, что общее число игр равно $n \times (n-1) \times 2$. Однако при таком подсчете каждая игра учитывается дважды (один раз для хозяев, второй раз для гостей).

Более простой способ рассуждения: возьмем любую из $n$ команд. Она должна сыграть в гостях у каждой из $n-1$ других команд. Это дает $n-1$ гостевых игр для каждой команды. Так как команд $n$, общее число всех гостевых игр (а значит, и общее число всех игр на чьем-либо поле) равно $n \times (n-1)$. Каждая игра в турнире является для кого-то домашней, а для кого-то гостевой, поэтому этот подсчет является полным.

Таким образом, общее количество сыгранных игр $N$ вычисляется по формуле, которая соответствует числу размещений из $n$ элементов по 2: $N = n(n-1)$

Нам известно, что всего было сыграно 30 игр, то есть $N=30$. Подставим это значение в формулу и получим уравнение: $n(n-1) = 30$

Это квадратное уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну часть: $n^2 - n - 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни подбором (по теореме Виета) или через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$

Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Так как количество команд $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -5$ не является решением задачи. Следовательно, в финале первенства участвовало 6 команд.

Ответ: 6