Номер 839, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

839. Сократите дробь:

а) $(n+1)! \over n!$;

б) $n! \over (n+2)!$;

в) $(n+3)! \over (n+1)!$;

г) $(n+1)!(n+3) \over (n+4)!$;

д) $(n+11)!n \over (n+10)!$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+1)!}{n!}$, воспользуемся определением факториала: $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (k-1) \cdot k$.
Представим числитель $(n+1)!$ как произведение $(n+1)$ и $n!$ по свойству факториала $k! = (k-1)! \cdot k$:
$(n+1)! = n! \cdot (n+1)$.
Теперь подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{(n+1)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1)}{n!}$.
Сокращаем $n!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{n!} \cdot (n+1)}{\cancel{n!}} = n+1$.
Ответ: $n+1$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{n!}{(n+2)!}$, представим знаменатель $(n+2)!$ через $n!$:
$(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{n!}{(n+2)!} = \frac{n!}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}$.
Сокращаем $n!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{n!}}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot \cancel{n!}} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Ответ: $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}$, представим числитель $(n+3)!$ через $(n+1)!$, так как $(n+3) > (n+1)$:
$(n+3)! = (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{(n+3)!}{(n+1)!} = \frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!}$.
Сокращаем $(n+1)!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot \cancel{(n+1)!}}{\cancel{(n+1)!}} = (n+2)(n+3)$.
Ответ: $(n+2)(n+3)$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+1)!(n+3)}{(n+4)!}$, представим наибольший факториал, $(n+4)!$, через наименьший, $(n+1)!$:
$(n+4)! = (n+4) \cdot (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{(n+1)!(n+3)}{(n+4)!} = \frac{(n+1)!(n+3)}{(n+4) \cdot (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!}$.
Сокращаем общие множители $(n+1)!$ и $(n+3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{(n+1)!}\cancel{(n+3)}}{(n+4) \cdot \cancel{(n+3)} \cdot (n+2) \cdot \cancel{(n+1)!}} = \frac{1}{(n+2)(n+4)}$.
Ответ: $\frac{1}{(n+2)(n+4)}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+11)!n}{(n+10)!}$, представим числитель $(n+11)!$ через $(n+10)!$:
$(n+11)! = (n+11) \cdot (n+10)!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{(n+11)!n}{(n+10)!} = \frac{(n+11) \cdot (n+10)! \cdot n}{(n+10)!}$.
Сокращаем $(n+10)!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(n+11) \cdot \cancel{(n+10)!} \cdot n}{\cancel{(n+10)!}} = n(n+11)$.
Ответ: $n(n+11)$.