Номер 834, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

834. Из цифр $1, 2, 3, 5$ составили все возможные четырёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше $2000$, но меньше $5000$?

В задаче требуется найти количество четырёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 5 без повторения, которые больше 2000, но меньше 5000.

Пусть искомое четырёхзначное число представлено как abcd, где a, b, c, d — это разные цифры из набора {1, 2, 3, 5}.

Условие, что число больше 2000, означает, что первая цифра a (разряд тысяч) должна быть больше или равна 2. Из доступных цифр подходят 2, 3 и 5.

Условие, что число меньше 5000, означает, что первая цифра a должна быть меньше 5. Из доступных цифр подходят 1, 2 и 3.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, первая цифра a должна быть либо 2, либо 3. Таким образом, у нас есть 2 варианта для выбора первой цифры.

После выбора первой цифры у нас остаются 3 неиспользованные цифры для трёх оставшихся позиций (сотни, десятки и единицы). Количество способов расставить 3 различные цифры на 3-х местах — это число перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как $3!$ (3 факториал).

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Итак, для каждого из двух возможных вариантов первой цифры (2 или 3) существует 6 способов составить оставшуюся часть числа.

Для нахождения общего количества таких чисел необходимо умножить количество вариантов для первой цифры на количество вариантов для оставшихся трёх: $2 \times 6 = 12$

Ответ: 12