Номер 848, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

848. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы:

а) по 4 и 8 человек;

б) по 5 и 7 человек?

Эта задача решается с помощью комбинаторики. Поскольку порядок людей в группах не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Число способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учёта порядка определяется как $C_n^k$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (факториал $n$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

а) по 4 и 8 человек;

Задача состоит в том, чтобы разделить 12 человек на две группы: одну из 4 человек, другую из 8. Для этого достаточно выбрать 4 человека из 12. Как только мы выберем группу из 4 человек, остальные 8 человек автоматически образуют вторую группу. Поскольку группы имеют разный размер, они являются различимыми, и дальнейших действий не требуется.

Количество способов выбрать 4 человека из 12 равно числу сочетаний из 12 по 4:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!}$

Распишем и вычислим значение:

$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495$

Можно также посчитать, сократив дробь: $C_{12}^4 = (12 \div (4 \cdot 3)) \cdot 11 \cdot (10 \div 2) \cdot 9 = 1 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495$.

Таким образом, существует 495 способов для такого разделения.

Ответ: 495 способов.

б) по 5 и 7 человек?

Аналогично предыдущему пункту, мы делим 12 человек на две группы: 5 человек и 7 человек. Для этого достаточно выбрать 5 человек из 12. Оставшиеся 7 человек автоматически сформируют вторую группу. Группы также различимы по своему размеру.

Количество способов выбрать 5 человек из 12 равно числу сочетаний из 12 по 5:

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!}$

Распишем и вычислим значение:

$C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{95040}{120} = 792$

Сокращая дробь, получаем: $C_{12}^5 = (12 \div (4 \cdot 3)) \cdot 11 \cdot (10 \div (5 \cdot 2)) \cdot 9 \cdot 8 = 1 \cdot 11 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8 = 792$.

Следовательно, существует 792 способа для такого разделения.

Ответ: 792 способа.