Страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

870. Одновременно подбрасывают три монеты. Какова вероятность того, что на всех трёх монетах выпадет решка?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Сначала определим общее число всех возможных исходов. При подбрасывании одной монеты есть два возможных исхода: орел (О) или решка (Р). Так как подбрасывают три монеты, то общее число всех возможных комбинаций исходов ($n$) будет равно:

$n = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Перечислим все возможные исходы:

• О, О, О
• О, О, Р
• О, Р, О
• Р, О, О
• О, Р, Р
• Р, О, Р
• Р, Р, О
• Р, Р, Р

2. Теперь определим число благоприятствующих исходов ($m$). Благоприятствующий исход — это тот, при котором на всех трёх монетах выпадает решка. Глядя на список выше, мы видим, что такой исход только один:

• Р, Р, Р

Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

3. Рассчитаем вероятность ($P$) по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

Подставим найденные значения:

$P = \frac{1}{8}$

Эту же задачу можно решить с помощью теоремы об умножении вероятностей независимых событий. Вероятность выпадения решки на одной монете равна $\frac{1}{2}$. Так как результаты бросков трех монет не зависят друг от друга, вероятность того, что на всех трех выпадет решка, равна произведению вероятностей этих событий:

$P(\text{три решки}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

871. Чемодан можно открыть, если правильно набрать шифр 22 075 (при наборе шифра цифра каждого разряда может быть любой от 0 до 9). Какова вероятность того, что человек, набрав произвольно номер из 5 цифр, сможет открыть чемодан?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов $M$ к общему числу всех возможных исходов $N$.

Формула для расчета вероятности: $P = \frac{M}{N}$

1. Найдем общее число всех возможных исходов (N).

Шифр на чемодане состоит из 5 цифр. Для каждой из пяти позиций можно выбрать любую цифру от 0 до 9. Это означает, что для каждого разряда существует 10 возможных вариантов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Поскольку выбор цифры для каждой позиции не зависит от выбора цифр для других позиций, общее количество возможных комбинаций шифра можно найти, перемножив количество вариантов для каждой из пяти позиций:

$N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100 \ 000$

Итак, существует 100 000 различных пятизначных шифров.

2. Найдем число благоприятствующих исходов (M).

Благоприятствующий исход — это набор правильного шифра, который откроет чемодан. По условию задачи, правильный шифр только один: 22 075.

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно 1:

$M = 1$

3. Рассчитаем вероятность.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятствующих исходов, мы можем рассчитать вероятность. Вероятность того, что случайно набранный номер окажется правильным, равна:

$P = \frac{M}{N} = \frac{1}{100 \ 000} = 0,00001$

Ответ: $0,00001$

872. Бросают три игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших на них очков будет равна:

а) $3$;

б) $4$;

в) $5$;

г) $7$?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P = m/n$, где $n$ – общее число исходов, а $m$ – число благоприятствующих исходов.

При броске одного игрального кубика может выпасть одно из 6 чисел (от 1 до 6). Так как бросают три кубика, и результаты бросков независимы, общее число всех возможных комбинаций выпавших очков равно:

$n = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Это общее число исходов для всех подпунктов задачи.

а) Сумма очков равна 3

Чтобы сумма очков на трех кубиках была равна 3, необходимо, чтобы на каждом из кубиков выпало по 1 очку. Это единственно возможная комбинация: (1, 1, 1).

Число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=3) = m/n = 1/216$.

Ответ: $1/216$.

б) Сумма очков равна 4

Чтобы в сумме получить 4, очки на кубиках должны быть набором (1, 1, 2). Так как кубики различны (или броски последовательны), важен порядок выпадения очков. Возможны следующие исходы:

(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1).

Число благоприятствующих исходов $m = 3$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=4) = m/n = 3/216 = 1/72$.

Ответ: $1/72$.

в) Сумма очков равна 5

Чтобы в сумме получить 5, возможны два набора очков: (1, 1, 3) и (1, 2, 2). Рассчитаем количество исходов для каждого набора:

1. Набор (1, 1, 3): исходы (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1). Всего 3 исхода.

2. Набор (1, 2, 2): исходы (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1). Всего 3 исхода.

Общее число благоприятствующих исходов $m = 3 + 3 = 6$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=5) = m/n = 6/216 = 1/36$.

Ответ: $1/36$.

г) Сумма очков равна 7

Чтобы в сумме получить 7, возможны следующие наборы очков: (1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (2, 2, 3). Рассчитаем количество исходов для каждого набора:

1. Набор (1, 1, 5): исходы (1, 1, 5), (1, 5, 1), (5, 1, 1). Всего 3 исхода.

2. Набор (1, 2, 4): все числа различны, количество перестановок равно $3! = 6$. Исходы: (1, 2, 4), (1, 4, 2), (2, 1, 4), (2, 4, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1). Всего 6 исходов.

3. Набор (1, 3, 3): исходы (1, 3, 3), (3, 1, 3), (3, 3, 1). Всего 3 исхода.

4. Набор (2, 2, 3): исходы (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2). Всего 3 исхода.

Общее число благоприятствующих исходов $m = 3 + 6 + 3 + 3 = 15$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=7) = m/n = 15/216$. Дробь можно сократить на 3: $15:3=5$, $216:3=72$.

$P(сумма=7) = 5/72$.

Ответ: $5/72$.

873. Миша и Костя по очереди бросают три игральных кубика. Они договорились, что если при очередном броске выпадает 5 очков, то выигрывает Миша, а если выпадает 16 очков, то выигрывает Костя. У кого больше шансов выиграть?

Чтобы определить, у кого больше шансов выиграть, необходимо сравнить количество комбинаций, при которых выигрывает Миша, с количеством комбинаций, при которых выигрывает Костя. Игра ведется тремя стандартными игральными кубиками, на гранях которых нанесены числа от 1 до 6.

Сначала найдем общее число возможных исходов при броске трех кубиков. Поскольку у каждого кубика 6 граней, общее количество различных комбинаций равно $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Теперь вычислим количество благоприятных исходов для Миши, то есть найдем количество способов получить сумму 5. Пусть $x, y, z$ — числа, выпавшие на трех кубиках. Нам нужно найти количество целочисленных решений уравнения $x+y+z=5$ при условии, что каждое из чисел $x, y, z$ может принимать значения от 1 до 6. Перечислим все возможные уникальные наборы чисел и их перестановки:

• Набор {1, 1, 3}. Из него можно составить 3 различные комбинации: (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1).
• Набор {1, 2, 2}. Из него также можно составить 3 различные комбинации: (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1).

Таким образом, общее количество способов получить сумму 5 равно $3 + 3 = 6$. Вероятность выигрыша Миши при одном броске составляет $P_{Миша} = \frac{6}{216}$.

Далее вычислим количество благоприятных исходов для Кости, то есть найдем количество способов получить сумму 16. Ищем решения уравнения $x+y+z=16$ при тех же условиях ($1 \le x, y, z \le 6$). Перечислим все возможные уникальные наборы чисел и их перестановки:

• Набор {4, 6, 6}. Из него можно составить 3 различные комбинации: (4, 6, 6), (6, 4, 6), (6, 6, 4).
• Набор {5, 5, 6}. Из него также можно составить 3 различные комбинации: (5, 5, 6), (5, 6, 5), (6, 5, 5).

Таким образом, общее количество способов получить сумму 16 равно $3 + 3 = 6$. Вероятность выигрыша Кости при одном броске составляет $P_{Костя} = \frac{6}{216}$.

Так как количество благоприятных исходов для Миши (сумма 5) и для Кости (сумма 16) одинаково и равно 6, то их шансы на выигрыш в каждом отдельном броске равны. Следовательно, их общие шансы на победу в игре одинаковы.

Ответ: Шансы на выигрыш у Миши и Кости одинаковы.

874. Игральный кубик бросают 3 раза подряд. Какова вероятность того, что каждый раз на нём выпадет число очков:

а) кратное 2;

б) кратное 3?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности и теоремой об умножении вероятностей независимых событий. При одном броске игрального кубика возможно 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6).

а) Найдем вероятность того, что каждый из трех раз выпадет число очков, кратное 2.
Числа на гранях кубика, кратные 2, — это 2, 4, 6. Всего таких чисел 3.
Вероятность того, что при одном броске выпадет число, кратное 2, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Так как броски являются независимыми событиями, вероятность того, что число, кратное 2, выпадет три раза подряд, равна произведению вероятностей этих трех событий:
$P_{общ} = P(A) \times P(A) \times P(A) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

б) Найдем вероятность того, что каждый из трех раз выпадет число очков, кратное 3.
Числа на гранях кубика, кратные 3, — это 3 и 6. Всего таких чисел 2.
Вероятность того, что при одном броске выпадет число, кратное 3, равна:
$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Вероятность того, что такое событие произойдет три раза подряд, вычисляется аналогично:
$P_{общ} = P(B) \times P(B) \times P(B) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$
Ответ: $\frac{1}{27}$