Номер 872, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

872. Бросают три игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших на них очков будет равна:

а) $3$;

б) $4$;

в) $5$;

г) $7$?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P = m/n$, где $n$ – общее число исходов, а $m$ – число благоприятствующих исходов.

При броске одного игрального кубика может выпасть одно из 6 чисел (от 1 до 6). Так как бросают три кубика, и результаты бросков независимы, общее число всех возможных комбинаций выпавших очков равно:

$n = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Это общее число исходов для всех подпунктов задачи.

а) Сумма очков равна 3

Чтобы сумма очков на трех кубиках была равна 3, необходимо, чтобы на каждом из кубиков выпало по 1 очку. Это единственно возможная комбинация: (1, 1, 1).

Число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=3) = m/n = 1/216$.

Ответ: $1/216$.

б) Сумма очков равна 4

Чтобы в сумме получить 4, очки на кубиках должны быть набором (1, 1, 2). Так как кубики различны (или броски последовательны), важен порядок выпадения очков. Возможны следующие исходы:

(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1).

Число благоприятствующих исходов $m = 3$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=4) = m/n = 3/216 = 1/72$.

Ответ: $1/72$.

в) Сумма очков равна 5

Чтобы в сумме получить 5, возможны два набора очков: (1, 1, 3) и (1, 2, 2). Рассчитаем количество исходов для каждого набора:

1. Набор (1, 1, 3): исходы (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1). Всего 3 исхода.

2. Набор (1, 2, 2): исходы (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1). Всего 3 исхода.

Общее число благоприятствующих исходов $m = 3 + 3 = 6$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=5) = m/n = 6/216 = 1/36$.

Ответ: $1/36$.

г) Сумма очков равна 7

Чтобы в сумме получить 7, возможны следующие наборы очков: (1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (2, 2, 3). Рассчитаем количество исходов для каждого набора:

1. Набор (1, 1, 5): исходы (1, 1, 5), (1, 5, 1), (5, 1, 1). Всего 3 исхода.

2. Набор (1, 2, 4): все числа различны, количество перестановок равно $3! = 6$. Исходы: (1, 2, 4), (1, 4, 2), (2, 1, 4), (2, 4, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1). Всего 6 исходов.

3. Набор (1, 3, 3): исходы (1, 3, 3), (3, 1, 3), (3, 3, 1). Всего 3 исхода.

4. Набор (2, 2, 3): исходы (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2). Всего 3 исхода.

Общее число благоприятствующих исходов $m = 3 + 6 + 3 + 3 = 15$.

Вероятность этого события равна:

$P(сумма=7) = m/n = 15/216$. Дробь можно сократить на 3: $15:3=5$, $216:3=72$.

$P(сумма=7) = 5/72$.

Ответ: $5/72$.