Номер 762, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

762. Сколько четырёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

a) 1, 3, 5, 7, 9;

б) 0, 2, 4, 6, 8?

а)

Нам нужно составить четырёхзначные числа из пяти предложенных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Важно, что все цифры в числе должны быть различными.

Это задача на размещения без повторений. Мы выбираем 4 цифры из 5 и расставляем их по четырём позициям (тысячи, сотни, десятки, единицы).

Рассуждать можно по шагам:

• На первую позицию (разряд тысяч) мы можем поставить любую из 5 цифр.
• На вторую позицию (разряд сотен) мы можем поставить любую из оставшихся 4 цифр.
• На третью позицию (разряд десятков) остаётся 3 варианта.
• На четвёртую позицию (разряд единиц) остаётся 2 варианта.

Общее количество таких чисел находится перемножением числа вариантов для каждой позиции: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

Формально это число размещений из 5 элементов по 4, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Ответ: 120

б)

Здесь нам нужно составить четырёхзначные числа из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Как и в предыдущем пункте, цифры в числе не должны повторяться.

Главное отличие этого случая в наличии цифры 0. Четырёхзначное число не может начинаться с нуля.

Рассуждаем по позициям:

• На первую позицию (разряд тысяч) мы не можем поставить 0. Поэтому у нас есть только 4 варианта (2, 4, 6, 8).
• На вторую позицию (разряд сотен) мы можем поставить любую из оставшихся 4 цифр. Одна цифра уже использована для первой позиции, но теперь мы можем использовать 0.
• На третью позицию (разряд десятков) мы можем выбрать любую из оставшихся 3 цифр.
• На четвёртую позицию (разряд единиц) остаётся 2 варианта.

Перемножаем количество вариантов для каждой позиции: $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$.

Можно решить и другим способом: сначала найти общее число всех возможных размещений из 5 цифр по 4 (включая те, что начинаются с нуля), а затем вычесть из них количество "неправильных" чисел (тех, которые начинаются с 0).

1. Общее число размещений из 5 по 4: $A_5^4 = 120$.
2. Число комбинаций, начинающихся с 0: если первая цифра 0, то оставшиеся 3 цифры нужно выбрать из 4-х (2, 4, 6, 8). Это число размещений из 4 по 3: $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4! = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
3. Искомое количество чисел: $120 - 24 = 96$.

Ответ: 96