Номер 763, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

763. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Для нахождения количества семизначных телефонных номеров с различными цифрами, в которых первая цифра не равна нулю, необходимо последовательно подсчитать количество вариантов для каждой из семи позиций в номере. Мы будем использовать цифры от 0 до 9 (всего 10 цифр).

Для первой цифры: по условию, она не может быть нулём. Это означает, что для первой позиции подходят цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, есть 9 вариантов выбора.

Для второй цифры: она должна быть отличной от первой. Одна цифра уже использована, но теперь можно использовать 0. Из 10 исходных цифр остаётся $10 - 1 = 9$ доступных вариантов.

Для третьей цифры: она должна отличаться от первых двух. Так как две разные цифры уже заняты, остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.

Для четвертой цифры: по аналогии, остаётся $10 - 3 = 7$ вариантов.

Для пятой цифры: остаётся $10 - 4 = 6$ вариантов.

Для шестой цифры: остаётся $10 - 5 = 5$ вариантов.

Для седьмой цифры: остаётся $10 - 6 = 4$ варианта.

Чтобы найти общее количество таких телефонных номеров, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения:

$N = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$

Выполним вычисления:

$N = 544320$

Эту же задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений без повторений. Количество способов выбрать первую цифру равно 9. После этого нам нужно выбрать и расположить оставшиеся 6 цифр из оставшихся 9 (все цифры, кроме первой, включая 0). Это число размещений из 9 элементов по 6, обозначаемое $A_9^6$.

$A_9^6 = \frac{9!}{(9-6)!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 60480$

Итоговое количество номеров равно произведению числа способов выбора первой цифры на число размещений для остальных шести:

$N = 9 \times A_9^6 = 9 \times 60480 = 544320$

Ответ: 544320