Номер 756, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

756. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

В данной задаче нам нужно определить, сколькими способами можно расставить 4 поезда на 7 свободных путях. Мы предполагаем, что все поезда различны (например, имеют разные номера) и все пути тоже различны (пронумерованы). Так как один поезд может занимать только один путь, и порядок расположения поездов важен (постановка поезда А на путь 1 и поезда Б на путь 2 отличается от постановки поезда Б на путь 1 и поезда А на путь 2), то мы имеем дело с задачей на нахождение числа размещений.

Число размещений — это количество способов выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов. Формула для числа размещений $A_n^k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество путей $n = 7$, а количество поездов, которые нужно расставить, $k = 4$.

Подставим значения в формулу:
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!}$

Теперь вычислим значение, раскрыв факториалы:
$A_7^4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Задачу также можно решить, используя правило умножения.
Для первого поезда существует 7 вариантов выбора пути.
После того как первый поезд размещен, для второго поезда остается 6 свободных путей.
Для третьего поезда остается 5 свободных путей.
Для четвертого поезда — 4 свободных пути.
Общее количество способов является произведением числа вариантов для каждого поезда:
$7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Ответ: 840.