Номер 10, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 10, страница 107.

Условие.

10. Решите уравнение $x^2 - x^4 + x^6 - ... = \frac{9}{25}$, если $|x| < 1$.

Решение.

Левую часть данного уравнения можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен

, а знаменатель равен

Ответ:

Решение.

Решение.

Левую часть данного уравнения $x^2 - x^4 + x^6 - \dots$ можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Условие $|x| < 1$ гарантирует, что прогрессия является сходящейся.

Определим первый член и знаменатель этой прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = x^2$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-x^4}{x^2} = -x^2$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |-x^2| = x^2$. Поскольку по условию $|x| < 1$, то $x^2 < 1$. Условие выполняется.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{x^2}{1 - (-x^2)} = \frac{x^2}{1 + x^2}$

Согласно условию задачи, эта сумма равна $\frac{9}{25}$. Приравняем полученное выражение к этому значению:

$\frac{x^2}{1 + x^2} = \frac{9}{25}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции (крест-накрест):

$25 \cdot x^2 = 9 \cdot (1 + x^2)$

$25x^2 = 9 + 9x^2$

Перенесем все слагаемые с $x^2$ в левую часть:

$25x^2 - 9x^2 = 9$

$16x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{16}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$

$x = \pm\frac{3}{4}$

Оба полученных значения, $x_1 = \frac{3}{4}$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$, удовлетворяют начальному условию $|x| < 1$.

Ответ: $\pm\frac{3}{4}$.