Номер 8, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 8, страница 105.

Условие.

8. Найдите первый член и знаменатель бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_2 = 18$, а сумма прогрессии равна 81.

Решение.

Пусть $q$ — знаменатель данной прогрессии. Выразив $b_2$ и разность данной прогрессии через $b_1$ и $q$, можем записать систему уравнений:

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула для n-го члена прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, а формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии — $S = \frac{b_1}{1-q}$ (при условии $|q|<1$).

По условию задачи, второй член $b_2 = 18$ и сумма прогрессии $S = 81$. Составим систему уравнений на основе этих данных:

$ \begin{cases} b_1 \cdot q = 18 \\ \frac{b_1}{1-q} = 81 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b_1$ через $q$: $b_1 = \frac{18}{q}$.

Подставим полученное выражение для $b_1$ во второе уравнение системы:

$\frac{18/q}{1-q} = 81 \implies \frac{18}{q(1-q)} = 81$

Решим это уравнение:

$18 = 81 \cdot q(1-q)$

$18 = 81q - 81q^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$81q^2 - 81q + 18 = 0$

Разделим обе части уравнения на 9 для упрощения:

$9q^2 - 9q + 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$q_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$q_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Оба найденных значения для $q$ удовлетворяют условию $|q|<1$, необходимому для сходимости ряда.

Теперь для каждого значения $q$ найдем соответствующее значение $b_1$ из уравнения $b_1 = \frac{18}{q}$.

1. Если $q = \frac{2}{3}$, то $b_1 = \frac{18}{2/3} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$.

2. Если $q = \frac{1}{3}$, то $b_1 = \frac{18}{1/3} = 18 \cdot 3 = 54$.

Таким образом, мы получили две пары возможных значений для первого члена и знаменателя прогрессии.

Ответ: Первый член $b_1 = 27$ и знаменатель $q = \frac{2}{3}$, или первый член $b_1 = 54$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.