Номер 9, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 9, страница 106.

Условие.

9. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 96, а сумма трёх её первых членов равна 55,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ и $q$ — соответственно первый член и знаменатель данной прогрессии.

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии для $n = 3$, можем записать систему уравнений:

Ответ:

Решение.

Пусть $b_1$ и $q$ — соответственно первый член и знаменатель данной прогрессии.

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$ и формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ для $n = 3$, можем записать систему уравнений:

$ \begin{cases} S = \frac{b_1}{1-q} = 96 \\ S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 55,5 \end{cases} $

Заметим, что второе уравнение можно переписать, подставив в него выражение для $S$ из первого уравнения:

$S_3 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^3) = S \cdot (1-q^3)$

Подставим известные значения $S$ и $S_3$ в полученное выражение, чтобы найти $q$:

$55,5 = 96 \cdot (1-q^3)$

$1 - q^3 = \frac{55,5}{96}$

Преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 10 и затем сократив:

$\frac{55,5}{96} = \frac{555}{960} = \frac{111}{192} = \frac{37}{64}$

Теперь решим уравнение относительно $q^3$:

$1 - q^3 = \frac{37}{64}$

$q^3 = 1 - \frac{37}{64} = \frac{64 - 37}{64} = \frac{27}{64}$

Извлекая кубический корень, находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения системы $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$b_1 = S \cdot (1-q)$

$b_1 = 96 \cdot (1 - \frac{3}{4}) = 96 \cdot \frac{1}{4} = 24$

Условие существования суммы бесконечной геометрической прогрессии $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{3}{4}| < 1$.

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 24$, знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{4}$.