Номер 9, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: рабочая тетрадь

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Часть: 2

Цвет обложки: голубой

ISBN: 978-5-09-089843-0 (ч.1 2022 г.) 978-5-09-099671-6 (ч. 2 2023 г.)

Популярные ГДЗ в 9 классе

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 9, страница 106.

№9 (с. 106)
Условие. №9 (с. 106)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс рабочая тетрадь, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, голубого цвета, Часть 2, страница 106, номер 9, Условие
Алгебра, 9 класс рабочая тетрадь, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, голубого цвета, Часть 2, страница 106, номер 9, Условие (продолжение 2)

9. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 96, а сумма трёх её первых членов равна 55,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ и $q$ — соответственно первый член и знаменатель данной прогрессии.

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии для $n = 3$, можем записать систему уравнений:

Ответ:

Решение. №9 (с. 106)

Пусть $b_1$ и $q$ — соответственно первый член и знаменатель данной прогрессии.

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$ и формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ для $n = 3$, можем записать систему уравнений:

$ \begin{cases} S = \frac{b_1}{1-q} = 96 \\ S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 55,5 \end{cases} $

Заметим, что второе уравнение можно переписать, подставив в него выражение для $S$ из первого уравнения:

$S_3 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^3) = S \cdot (1-q^3)$

Подставим известные значения $S$ и $S_3$ в полученное выражение, чтобы найти $q$:

$55,5 = 96 \cdot (1-q^3)$

$1 - q^3 = \frac{55,5}{96}$

Преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 10 и затем сократив:

$\frac{55,5}{96} = \frac{555}{960} = \frac{111}{192} = \frac{37}{64}$

Теперь решим уравнение относительно $q^3$:

$1 - q^3 = \frac{37}{64}$

$q^3 = 1 - \frac{37}{64} = \frac{64 - 37}{64} = \frac{27}{64}$

Извлекая кубический корень, находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения системы $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$b_1 = S \cdot (1-q)$

$b_1 = 96 \cdot (1 - \frac{3}{4}) = 96 \cdot \frac{1}{4} = 24$

Условие существования суммы бесконечной геометрической прогрессии $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{3}{4}| < 1$.

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 24$, знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{4}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 106 для 2-й части к рабочей тетради серии алгоритм успеха 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 106), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), 2-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.