Номер 9, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки: голубой
ISBN: 978-5-09-089843-0 (ч.1 2022 г.) 978-5-09-099671-6 (ч. 2 2023 г.)
Популярные ГДЗ в 9 классе
Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 9, страница 106.
№9 (с. 106)
Условие. №9 (с. 106)
скриншот условия
 
                                                                                    
                                                                                                                     
                                                                                                                                        9. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 96, а сумма трёх её первых членов равна 55,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Решение.
Пусть $b_1$ и $q$ — соответственно первый член и знаменатель данной прогрессии.
Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии для $n = 3$, можем записать систему уравнений:
Ответ:
Решение. №9 (с. 106)
Пусть $b_1$ и $q$ — соответственно первый член и знаменатель данной прогрессии.
Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$ и формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ для $n = 3$, можем записать систему уравнений:
$ \begin{cases} S = \frac{b_1}{1-q} = 96 \\ S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 55,5 \end{cases} $
Заметим, что второе уравнение можно переписать, подставив в него выражение для $S$ из первого уравнения:
$S_3 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^3) = S \cdot (1-q^3)$
Подставим известные значения $S$ и $S_3$ в полученное выражение, чтобы найти $q$:
$55,5 = 96 \cdot (1-q^3)$
$1 - q^3 = \frac{55,5}{96}$
Преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 10 и затем сократив:
$\frac{55,5}{96} = \frac{555}{960} = \frac{111}{192} = \frac{37}{64}$
Теперь решим уравнение относительно $q^3$:
$1 - q^3 = \frac{37}{64}$
$q^3 = 1 - \frac{37}{64} = \frac{64 - 37}{64} = \frac{27}{64}$
Извлекая кубический корень, находим знаменатель прогрессии $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$
Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения системы $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$b_1 = S \cdot (1-q)$
$b_1 = 96 \cdot (1 - \frac{3}{4}) = 96 \cdot \frac{1}{4} = 24$
Условие существования суммы бесконечной геометрической прогрессии $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{3}{4}| < 1$.
Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 24$, знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{4}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 106 для 2-й части к рабочей тетради серии алгоритм успеха 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 106), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), 2-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    