Номер 4, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 4, страница 103.

Условие.

4. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0,(23)$ 2) $1,4(3)$ 3) $3,2(34)$

Решение.

1) Имеем: $0,(23) = 0,232323... = 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + ...$

Число $0,(23)$ можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой $b_1 = \_\_\_\_\_\_\_\_$, а знаменатель $q = \_\_\_\_\_\_\_\_$

Тогда $0,(23) = \_\_\_\_\_\_\_\_$

Ответ:

______

2) Имеем: $1,4(3) = 1,4 + 0,0333... = 1,4 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...$

Число $0,0333...$ можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой $b_1 = \_\_\_\_\_\_\_\_$, а знаменатель $q = \_\_\_\_\_\_\_\_$

Тогда $0,033... = \_\_\_\_\_\_\_\_$

Отсюда $1,4(3) = 1,4 + 0,0(3) = 1\frac{2}{5} + \_\_\_\_\_\_\_\_$

Ответ:

______

3) Имеем: $3,2(34) = \_\_\_\_\_\_\_\_$

Ответ:

______

Решение.

1) 0,(23)
Имеем: $0,(23) = 0,232323... = 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + ...$
Число $0,(23)$ можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой $b_1 = 0,23$, а знаменатель $q = \frac{0,0023}{0,23} = 0,01$.
Тогда $0,(23)$ равно сумме этой прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0,23}{1 - 0,01} = \frac{0,23}{0,99} = \frac{23}{99}$.
Ответ: $\frac{23}{99}$.

2) 1,4(3)
Имеем: $1,4(3) = 1,4 + 0,0333...$
Число $0,0333...$ можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии $0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...$, первый член которой $b_1 = 0,03$, а знаменатель $q = \frac{0,003}{0,03} = 0,1$.
Тогда $0,0333... = S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0,03}{1 - 0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.
Отсюда $1,4(3) = 1,4 + 0,0(3) = \frac{14}{10} + \frac{1}{30} = \frac{7}{5} + \frac{1}{30} = \frac{42}{30} + \frac{1}{30} = \frac{43}{30}$.
Ответ: $\frac{43}{30}$.

3) 3,2(34)
Имеем: $3,2(34) = 3,2 + 0,0(34) = 3,2 + 0,0343434...$
Периодическую часть $0,0(34)$ представим в виде суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$0,034 + 0,00034 + 0,0000034 + ...$
Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,034$, а знаменатель $q = \frac{0,00034}{0,034} = 0,01$.
Сумма этой прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0,034}{1 - 0,01} = \frac{0,034}{0,99} = \frac{34}{990} = \frac{17}{495}$.
Теперь сложим целую и дробную части:
$3,2(34) = 3,2 + \frac{17}{495} = \frac{32}{10} + \frac{17}{495} = \frac{16}{5} + \frac{17}{495}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $495$:
$\frac{16 \cdot 99}{5 \cdot 99} + \frac{17}{495} = \frac{1584}{495} + \frac{17}{495} = \frac{1584 + 17}{495} = \frac{1601}{495}$.
Ответ: $\frac{1601}{495}$.