Номер 11, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 11, страница 101.

Условие.

11. В геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что $b_4 - b_2 = 24$ и $b_4 - b_3 = 18$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_4 - b_2 = 24 \\ b_4 - b_3 = 18 \end{cases}$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, перепишем систему:

$\begin{cases} b_1 q^3 - b_1 q = 24 \\ b_1 q^3 - b_1 q^2 = 18 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1 q (q^2 - 1) = 24 \\ b_1 q^2 (q - 1) = 18 \end{cases}$

Поскольку $q^2 - 1 = (q-1)(q+1)$, система примет вид:

$\begin{cases} b_1 q (q - 1)(q + 1) = 24 \\ b_1 q^2 (q - 1) = 18 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (это возможно, так как из правых частей следует, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$):

$\frac{b_1 q (q - 1)(q + 1)}{b_1 q^2 (q - 1)} = \frac{24}{18}$

После сокращения дробей получаем:

$\frac{q + 1}{q} = \frac{4}{3}$

Решим это уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции:

$3(q + 1) = 4q$

$3q + 3 = 4q$

$q = 3$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q=3$ во второе уравнение системы $b_1 q^2 (q - 1) = 18$:

$b_1 \cdot 3^2 \cdot (3 - 1) = 18$

$b_1 \cdot 9 \cdot 2 = 18$

$18 b_1 = 18$

$b_1 = 1$

Для нахождения суммы семи первых членов прогрессии $S_7$ воспользуемся формулой суммы:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $b_1 = 1$, $q = 3$ и $n = 7$:

$S_7 = \frac{1 \cdot (3^7 - 1)}{3 - 1} = \frac{3^7 - 1}{2}$

Вычислим $3^7 = 2187$.

$S_7 = \frac{2187 - 1}{2} = \frac{2186}{2} = 1093$

Ответ: 1093.