Номер 5, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 5, страница 99.

Условие.

5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_2 = 10$, $b_4 = 250$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$) необходимо определить ее первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$).

1. Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии связывает любые два ее члена: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.
Подставим в формулу известные значения $b_2 = 10$ и $b_4 = 250$:
$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2}$
$250 = 10 \cdot q^2$
Разделим обе части уравнения на 10:
$q^2 = \frac{250}{10} = 25$
Это уравнение имеет два возможных решения для знаменателя прогрессии: $q = 5$ и $q = -5$. Необходимо рассмотреть оба случая.

Случай 1: $q = 5$

а) Найдем первый член прогрессии $b_1$, зная второй член $b_2 = b_1 \cdot q$:
$10 = b_1 \cdot 5$
$b_1 = \frac{10}{5} = 2$
б) Теперь найдем сумму первых пяти членов по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_5 = \frac{2(5^5 - 1)}{5 - 1} = \frac{2(3125 - 1)}{4} = \frac{2 \cdot 3124}{4} = \frac{6248}{4} = 1562$.

Случай 2: $q = -5$

а) Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$10 = b_1 \cdot (-5)$
$b_1 = \frac{10}{-5} = -2$
б) Найдем сумму первых пяти членов $S_5$:
$S_5 = \frac{-2((-5)^5 - 1)}{-5 - 1} = \frac{-2(-3125 - 1)}{-6} = \frac{-2(-3126)}{-6} = \frac{6252}{-6} = -1042$.

Таким образом, задача имеет два возможных ответа, так как оба знаменателя, 5 и -5, удовлетворяют исходным условиям.
Ответ: 1562 или -1042.