Номер 14, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 24. Геометрическая прогрессия - номер 14, страница 94.

Условие.

14. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_2 + b_3 = 30$ и $b_4 - b_2 = 90$;

Решение.

Пусть $q$ — знаменатель данной прогрессии. С учётом условия запишем систему двух уравнений с переменными $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1q + b_1q^2 = 30, \\ \text{ } \end{cases}$

Поделим почленно левые и правые части уравнений системы:

Ответ:

2) $b_6 - b_3 = 215$ и $b_6 + b_5 + b_4 = 258.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $b_2 + b_3 = 30$ и $b_4 - b_2 = 90$

Решение:

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Выразим члены прогрессии из условия через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1q$

$b_3 = b_1q^2$

$b_4 = b_1q^3$

Подставим эти выражения в данные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} b_1q + b_1q^2 = 30 \\ b_1q^3 - b_1q = 90 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1q(1 + q) = 30 \\ b_1q(q^2 - 1) = 90 \end{cases}$

Разделим второе уравнение системы на первое. Так как правая часть первого уравнения не равна нулю ($30 \neq 0$), то и его левая часть $b_1q(1 + q) \neq 0$, поэтому деление возможно.

$\frac{b_1q(q^2 - 1)}{b_1q(1 + q)} = \frac{90}{30}$

Сократим левую часть, используя формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$:

$\frac{b_1q(q - 1)(q + 1)}{b_1q(1 + q)} = 3$

$q - 1 = 3$

$q = 4$

Теперь найдем $b_1$, подставив найденное значение $q=4$ в первое уравнение системы $b_1q(1 + q) = 30$:

$b_1 \cdot 4 \cdot (1 + 4) = 30$

$b_1 \cdot 4 \cdot 5 = 30$

$20b_1 = 30$

$b_1 = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $b_1 = 1.5$, $q = 4$.

2) $b_6 - b_3 = 215$ и $b_6 + b_5 + b_4 = 258$

Решение:

Аналогично первому пункту, выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$, используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$b_3 = b_1q^2$

$b_4 = b_1q^3$

$b_5 = b_1q^4$

$b_6 = b_1q^5$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} b_1q^5 - b_1q^2 = 215 \\ b_1q^5 + b_1q^4 + b_1q^3 = 258 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1q^2(q^3 - 1) = 215 \\ b_1q^3(q^2 + q + 1) = 258 \end{cases}$

Применим формулу разности кубов $q^3 - 1 = (q - 1)(q^2 + q + 1)$ к первому уравнению:

$\begin{cases} b_1q^2(q - 1)(q^2 + q + 1) = 215 \\ b_1q^3(q^2 + q + 1) = 258 \end{cases}$

Разделим второе уравнение системы на первое:

$\frac{b_1q^3(q^2 + q + 1)}{b_1q^2(q - 1)(q^2 + q + 1)} = \frac{258}{215}$

Сократим общие множители в левой части уравнения:

$\frac{q}{q - 1} = \frac{258}{215}$

Решим полученное уравнение с помощью пропорции:

$215q = 258(q - 1)$

$215q = 258q - 258$

$258q - 215q = 258$

$43q = 258$

$q = \frac{258}{43} = 6$

Найдем $b_1$, подставив $q=6$ в преобразованное первое уравнение $b_1q^2(q^3 - 1) = 215$:

$b_1 \cdot 6^2 \cdot (6^3 - 1) = 215$

$b_1 \cdot 36 \cdot (216 - 1) = 215$

$b_1 \cdot 36 \cdot 215 = 215$

Поделив обе части на 215, получим:

$36b_1 = 1$

$b_1 = \frac{1}{36}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{36}$, $q = 6$.