Номер 3, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 3, страница 98.

Условие.

3. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $5/7, 5, 35, \dots$.

Решение.

Найдём знаменатель данной прогрессии.

Ответ:

Решение.

Решение.

Дана геометрическая прогрессия, обозначим её члены как $b_n$. Из условия известны первые три члена:

$b_1 = \frac{5}{7}$

$b_2 = 5$

$b_3 = 35$

Требуется найти сумму первых четырёх членов прогрессии, то есть $S_4$.

Найдём знаменатель данной прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это число, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий. Найдём его, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{\frac{5}{7}} = 5 \cdot \frac{7}{5} = 7$.

Для проверки можно разделить третий член на второй:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{35}{5} = 7$.

Знаменатель прогрессии $q = 7$.

Теперь, когда мы знаем первый член $b_1$ и знаменатель $q$, мы можем найти сумму первых четырёх членов $S_4$, используя формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $n=4$, $b_1 = \frac{5}{7}$ и $q=7$ в формулу:

$S_4 = \frac{\frac{5}{7}(7^4 - 1)}{7 - 1} = \frac{\frac{5}{7}(2401 - 1)}{6} = \frac{\frac{5}{7} \cdot 2400}{6}$.

Упростим выражение:

$S_4 = \frac{5 \cdot 2400}{7 \cdot 6} = \frac{5 \cdot 400}{7} = \frac{2000}{7}$.

Этот результат можно также представить в виде смешанного числа:

$\frac{2000}{7} = 285\frac{5}{7}$.

Альтернативный способ решения:

Найдём четвёртый член прогрессии $b_4$, умножив третий член $b_3$ на знаменатель $q$:

$b_4 = b_3 \cdot q = 35 \cdot 7 = 245$.

Теперь сложим первые четыре члена прогрессии:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = \frac{5}{7} + 5 + 35 + 245 = \frac{5}{7} + 285$.

Приведём к общему знаменателю:

$S_4 = \frac{5}{7} + \frac{285 \cdot 7}{7} = \frac{5 + 1995}{7} = \frac{2000}{7}$.

Ответ: $\frac{2000}{7}$.