Номер 10, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 10, страница 101.

Условие.

10. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой геометрической прогрессии $(b_n)$ можно вычислить по формуле $S_n = 9(2^n - 1)$. Найдите:

1) седьмой член прогрессии;

2) знаменатель этой прогрессии.

Решение.

1) $b_7 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

2) $b_1 = S_1 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

Ответ: 1) \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ; 2) \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Решение.

1) седьмой член прогрессии

Для нахождения n-го члена прогрессии $(b_n)$ воспользуемся формулой $b_n = S_n - S_{n-1}$, где $S_n$ — сумма первых $n$ членов. По условию, $S_n = 9(2^n - 1)$.

Чтобы найти седьмой член прогрессии $b_7$, необходимо из суммы первых семи членов ($S_7$) вычесть сумму первых шести членов ($S_6$):

$b_7 = S_7 - S_6$

Вычислим $S_7$ и $S_6$:
$S_7 = 9(2^7 - 1) = 9(128 - 1) = 9 \times 127 = 1143$
$S_6 = 9(2^6 - 1) = 9(64 - 1) = 9 \times 63 = 567$

Теперь найдем $b_7$:
$b_7 = 1143 - 567 = 576$

Ответ: 576

2) знаменатель этой прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий: $q = \frac{b_n}{b_{n-1}}$. Найдем $b_1$ и $b_2$.

Первый член прогрессии $b_1$ равен сумме одного первого члена $S_1$:
$b_1 = S_1 = 9(2^1 - 1) = 9(2-1) = 9 \times 1 = 9$

Второй член прогрессии $b_2$ найдем по формуле $b_2 = S_2 - S_1$:
Сначала вычислим $S_2$:
$S_2 = 9(2^2 - 1) = 9(4-1) = 9 \times 3 = 27$
Теперь найдем $b_2$:
$b_2 = S_2 - S_1 = 27 - 9 = 18$

Вычислим знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{18}{9} = 2$

Ответ: 2