Номер 7, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 7, страница 100.

Условие.

7. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если $b_8 = 384$, $q = 2$.

Решение.

Рассмотрим геометрическую прогрессию $(c_n)$, у которой $c_1 = 384$, а знаменатель $q_1 = \frac{1}{2}$. Тогда сумма восьми первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ будет равна сумме

Ответ:

Решение.

Решение.

Для нахождения суммы восьми первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ необходимо знать ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$. По условию задачи, знаменатель $q = 2$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Нам известно, что восьмой член прогрессии $b_8 = 384$.

Подставим известные значения в формулу для $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

$384 = b_1 \cdot 2^7$

Поскольку $2^7 = 128$, получаем уравнение:

$384 = b_1 \cdot 128$

Решая это уравнение, находим $b_1$:

$b_1 = \frac{384}{128} = 3$

Теперь, зная первый член $b_1=3$ и знаменатель $q=2$, можем вычислить сумму первых восьми членов $S_8$ по формуле суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$

Подставляем наши значения для $n=8$:

$S_8 = \frac{3(2^8 - 1)}{2-1}$

Вычислим $2^8 = 256$ и подставим в формулу:

$S_8 = \frac{3(256 - 1)}{1} = 3 \cdot 255$

$S_8 = 765$

Ответ: 765