Номер 9, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 9, страница 101.

Условие.

9. Сумма членов конечной геометрической прогрессии равна 2046. Найдите количество членов прогрессии, если её первый член $b_1 = 6$, а знаменатель прогрессии $q = 4$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Для нахождения количества членов конечной геометрической прогрессии воспользуемся формулой суммы ее первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $S_n$ — сумма прогрессии, $b_1$ — ее первый член, $q$ — знаменатель, а $n$ — количество членов.

По условию задачи имеем:

$S_n = 2046$

$b_1 = 6$

$q = 4$

Подставим известные значения в формулу и найдем $n$:

$2046 = \frac{6(4^n - 1)}{4 - 1}$

Упростим выражение в знаменателе:

$2046 = \frac{6(4^n - 1)}{3}$

Разделим 6 на 3:

$2046 = 2(4^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{2046}{2} = 4^n - 1$

$1023 = 4^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть уравнения, изменив знак:

$1023 + 1 = 4^n$

$1024 = 4^n$

Чтобы найти $n$, представим 1024 как степень числа 4. Известно, что $1024 = 2^{10}$. Так как $4 = 2^2$, то $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$.

Получаем уравнение:

$2^{10} = 2^{2n}$

Приравниваем показатели степеней:

$10 = 2n$

$n = \frac{10}{2}$

$n = 5$

Таким образом, количество членов прогрессии равно 5.

Ответ: 5.