Номер 4, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 4, страница 99.

Условие.

4. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_3 = 24$, $b_6 = 648$.

Решение.

Пусть $q$ — знаменатель данной прогрессии. Выразим $b_6$ через $b_3$ и $q$.

Ответ:

Решение.

Пусть $q$ — знаменатель данной геометрической прогрессии ($b_n$). Чтобы найти знаменатель, воспользуемся формулой n-го члена прогрессии, связывающей любые два её члена: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. Выразим $b_6$ через $b_3$:

$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3}$

Подставим известные значения $b_3 = 24$ и $b_6 = 648$ в формулу:

$648 = 24 \cdot q^3$

Теперь найдем $q^3$:

$q^3 = \frac{648}{24} = 27$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Далее найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения $b_3 = 24$ и $q = 3$:

$24 = b_1 \cdot 3^2$

$24 = 9 \cdot b_1$

$b_1 = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

Сумму шести первых членов геометрической прогрессии $S_6$ найдем по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{8}{3}(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^6 = 729$. Теперь подставим все значения в формулу:

$S_6 = \frac{\frac{8}{3}(729 - 1)}{2} = \frac{\frac{8}{3} \cdot 728}{2}$

$S_6 = \frac{8 \cdot 728}{3 \cdot 2} = \frac{4 \cdot 728}{3} = \frac{2912}{3}$

Ответ: $\frac{2912}{3}$.