Номер 13, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 24. Геометрическая прогрессия - номер 13, страница 94.

Условие.

13. Какие три числа надо вставить между числами 15 и 240, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть искомая последовательность чисел является геометрической прогрессией $(b_n)$. По условию, первый член этой прогрессии $b_1 = 15$.

Между числами 15 и 240 нужно вставить три числа. Это означает, что всего в прогрессии будет $2 + 3 = 5$ членов. Таким образом, число 240 является пятым членом прогрессии, то есть $b_5 = 240$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Для нашего случая при $n=5$ формула выглядит так: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:

$240 = 15 \cdot q^4$

Разделим обе части уравнения на 15:

$q^4 = \frac{240}{15}$

$q^4 = 16$

Данное уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt[4]{16} = 2$ и $q = -\sqrt[4]{16} = -2$. Следовательно, существуют два возможных набора чисел.

Вариант 1: Знаменатель прогрессии $q = 2$.

Найдем искомые три числа, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель:

$b_2 = b_1 \cdot q = 15 \cdot 2 = 30$

$b_3 = b_2 \cdot q = 30 \cdot 2 = 60$

$b_4 = b_3 \cdot q = 60 \cdot 2 = 120$

Прогрессия: 15, 30, 60, 120, 240.

Вариант 2: Знаменатель прогрессии $q = -2$.

Найдем искомые три числа:

$b_2 = b_1 \cdot q = 15 \cdot (-2) = -30$

$b_3 = b_2 \cdot q = -30 \cdot (-2) = 60$

$b_4 = b_3 \cdot q = 60 \cdot (-2) = -120$

Прогрессия: 15, -30, 60, -120, 240.

Ответ:

Существуют два набора таких чисел: 30, 60, 120 или -30, 60, -120.