Номер 10, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 24. Геометрическая прогрессия - номер 10, страница 93.

Условие.

10. Число 144 является членом геометрической прогрессии $\frac{1}{54}, \frac{1}{9}, \dots$. Найдите номер этого члена.

Решение.

Найдём знаменатель данной прогрессии.

Ответ:

Решение.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Из условия задачи мы знаем её первые два члена: $b_1 = \frac{1}{54}$ и $b_2 = \frac{1}{9}$. Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $b_n = 144$.

Найдём знаменатель данной прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему. Используем известные нам члены $b_1$ и $b_2$ для его вычисления:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{54}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{54}{1} = \frac{54}{9} = 6$.

Теперь, зная первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$, мы можем найти номер $n$ для члена $b_n = 144$, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим все известные значения в формулу:
$144 = \frac{1}{54} \cdot 6^{n-1}$.
Решим это уравнение относительно $n$. Для начала умножим обе части на 54:
$144 \cdot 54 = 6^{n-1}$
$7776 = 6^{n-1}$.
Чтобы найти $n$, представим число 7776 как степень с основанием 6. Известно, что $6^5 = 7776$.
Таким образом, наше уравнение принимает вид:
$6^5 = 6^{n-1}$.
Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$5 = n - 1$
$n = 5 + 1$
$n = 6$.

Ответ: 6.