Номер 16, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 24. Геометрическая прогрессия - номер 16, страница 96.

Условие.

16. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 24. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 4 и 8, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Решение.

Обозначим искомые числа $a_1$, $a_2$ и $a_3$. По условию $a_1 + a_2 + a_3 = 24$.

Поскольку числа $a_1$, $a_2$ и $a_3$ образуют арифметическую прогрессию, то $2a_2 = a_1 + a_3$.

Ответ:

Решение.

Обозначим искомые числа $a_1, a_2$ и $a_3$.

По условию, сумма этих чисел равна 24:

$a_1 + a_2 + a_3 = 24$

Поскольку числа $a_1, a_2$ и $a_3$ образуют арифметическую прогрессию, для них выполняется характеристическое свойство: средний член равен полусумме соседних, то есть $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$ или $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим выражение $a_1 + a_3$ из второго уравнения в первое:

$(a_1 + a_3) + a_2 = 24$

$2a_2 + a_2 = 24$

$3a_2 = 24$

$a_2 = 8$

Теперь мы знаем второй член прогрессии. Из свойства $a_1 + a_3 = 2a_2$ получаем $a_1 + a_3 = 2 \cdot 8 = 16$. Отсюда можно выразить $a_3$ через $a_1$: $a_3 = 16 - a_1$.

Таким образом, искомые числа можно записать как: $a_1, 8, 16 - a_1$.

По второму условию, если к этим числам прибавить соответственно 2, 4 и 8, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Новые числа будут:

$b_1 = a_1 + 2$

$b_2 = 8 + 4 = 12$

$b_3 = (16 - a_1) + 8 = 24 - a_1$

Для полученной геометрической прогрессии также справедливо характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим значения и решим уравнение относительно $a_1$:

$12^2 = (a_1 + 2)(24 - a_1)$

$144 = 24a_1 - a_1^2 + 48 - 2a_1$

$144 = -a_1^2 + 22a_1 + 48$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$a_1^2 - 22a_1 + 144 - 48 = 0$

$a_1^2 - 22a_1 + 96 = 0$

Решим это квадратное уравнение, например, через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 484 - 384 = 100 = 10^2$

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm 10}{2}$.

Получаем два возможных значения для первого числа:

1. $a_1 = \frac{22 + 10}{2} = 16$. Тогда третий член $a_3 = 16 - a_1 = 16 - 16 = 0$. Искомые числа: 16, 8, 0.

2. $a_1 = \frac{22 - 10}{2} = 6$. Тогда третий член $a_3 = 16 - a_1 = 16 - 6 = 10$. Искомые числа: 6, 8, 10.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два набора чисел.

Ответ: 6, 8, 10 или 16, 8, 0.