Номер 2, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 2, страница 97.

Условие.

Решаем задачи

2. Найдите сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 16, q = \frac{1}{2}, n = 6;$

Решение.

Ответ:

2) $b_1 = 0,5, q = -\frac{1}{3}, n = 5;$

Решение.

Ответ:

3) $b_1 = \frac{1}{12}, q = \sqrt{5}, n = 8.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Для нахождения суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \ne 1$).
В данном случае $b_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 6$. Так как знаменатель $q < 1$, удобнее использовать вариант формулы $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставляем значения в формулу:
$S_6 = \frac{16(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}}$
Вычисляем $q^n$: $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$.
Подставляем полученное значение обратно в формулу:
$S_6 = \frac{16(1 - \frac{1}{64})}{ \frac{1}{2} } = \frac{16(\frac{63}{64})}{\frac{1}{2}}$
Выполняем вычисления:
$S_6 = 16 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{16 \cdot 63 \cdot 2}{64} = \frac{32 \cdot 63}{64} = \frac{63}{2} = 31,5$.
Ответ: $31,5$.

2) Используем формулу для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Дано: $b_1 = 0,5 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 5$.
Подставляем значения:
$S_5 = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{3})^5)}{1 - (-\frac{1}{3})}$
Вычисляем $q^n$: $(-\frac{1}{3})^5 = -\frac{1^5}{3^5} = -\frac{1}{243}$.
Подставляем в формулу:
$S_5 = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{243}))}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}$
Выполняем деление дробей:
$S_5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 244 \cdot 3}{2 \cdot 243 \cdot 4} = \frac{732}{1944}$
Сокращаем дробь:
$S_5 = \frac{244 \cdot 3}{243 \cdot 8} = \frac{(4 \cdot 61) \cdot 3}{(3 \cdot 81) \cdot (2 \cdot 4)} = \frac{61}{81 \cdot 2} = \frac{61}{162}$.
Ответ: $\frac{61}{162}$.

3) Используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, так как знаменатель $q > 1$.
Дано: $b_1 = \frac{1}{12}$, $q = \sqrt{5}$, $n = 8$.
Подставляем значения:
$S_8 = \frac{\frac{1}{12}((\sqrt{5})^8 - 1)}{\sqrt{5} - 1}$
Вычисляем $q^n$: $(\sqrt{5})^8 = ((\sqrt{5})^2)^4 = 5^4 = 625$.
Подставляем в формулу:
$S_8 = \frac{\frac{1}{12}(625 - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\frac{1}{12} \cdot 624}{\sqrt{5} - 1}$
Вычисляем числитель: $\frac{624}{12} = 52$.
$S_8 = \frac{52}{\sqrt{5} - 1}$
Избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} + 1)$:
$S_8 = \frac{52(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{52(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{52(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{52(\sqrt{5} + 1)}{4}$
Сокращаем дробь:
$S_8 = 13(\sqrt{5} + 1)$.
Ответ: $13(\sqrt{5} + 1)$.