Номер 8, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 8, страница 100.

Условие.

8. Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), у которой знаменатель равен $\frac{1}{3}$, а сумма четырёх первых членов равна $8\frac{8}{9}$.

Решение.

Используя формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии, можем записать: $b_1 \frac{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 1\right)}{} = $

Ответ:

Решение.

Решение.

По условию задачи, нам дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой знаменатель $q = \frac{1}{3}$, а сумма первых четырёх членов $S_4 = 8\frac{8}{9}$. Необходимо найти первый член прогрессии $b_1$.

Для решения используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Сначала преобразуем смешанное число $8\frac{8}{9}$ в неправильную дробь для удобства вычислений: $S_4 = 8\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{72 + 8}{9} = \frac{80}{9}$

Теперь подставим известные значения в формулу суммы. У нас есть $n=4$, $q=\frac{1}{3}$ и $S_4=\frac{80}{9}$: $\frac{80}{9} = \frac{b_1\left(\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{3} - 1}$

Вычислим по частям правую сторону уравнения.

Выражение в числителе: $\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 1 = \frac{1}{81} - 1 = \frac{1}{81} - \frac{81}{81} = -\frac{80}{81}$

Выражение в знаменателе: $\frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$

Подставим полученные значения обратно в уравнение: $\frac{80}{9} = \frac{b_1 \cdot \left(-\frac{80}{81}\right)}{-\frac{2}{3}}$

Упростим правую часть, разделив числитель на знаменатель: $b_1 \cdot \left(-\frac{80}{81}\right) \div \left(-\frac{2}{3}\right) = b_1 \cdot \left(-\frac{80}{81}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = b_1 \cdot \frac{80 \cdot 3}{81 \cdot 2} = b_1 \cdot \frac{40}{27}$

Теперь наше уравнение выглядит так: $\frac{80}{9} = b_1 \cdot \frac{40}{27}$

Чтобы найти $b_1$, разделим обе части на $\frac{40}{27}$: $b_1 = \frac{80}{9} \div \frac{40}{27} = \frac{80}{9} \cdot \frac{27}{40}$

Сократим дробь: $b_1 = \frac{80 \cdot 27}{9 \cdot 40} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 6$

Ответ: 6