Номер 1, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 1, страница 102.

Условие.

Повторяем теорию

1. Заполните пропуски.

Суммой бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, у которой $|q| < 1$, называют число

Решение.

1. Вопрос заключается в том, чтобы вспомнить и указать формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия ($b_n$) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) находится по формуле:
$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

Суммой бесконечной геометрической прогрессии называют предел последовательности сумм ее первых $n$ членов при $n \rightarrow \infty$. Этот предел существует и является конечным числом только при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Такая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Найдем этот предел:
$S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Если $|q| < 1$, то при неограниченном увеличении $n$ значение $q^n$ стремится к нулю: $\lim_{n\to\infty} q^n = 0$.

Подставим это предельное значение в формулу суммы:
$S = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$

Таким образом, число, которым называют сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$) с условием $|q| < 1$, вычисляется по формуле $\frac{b_1}{1-q}$. Это выражение и нужно вписать в пропуск.

Ответ: $\frac{b_1}{1-q}$.