Номер 7, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 - номер 7, страница 105.

Условие.

7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 - b_4 = 1,5$ и $b_1 - b_3 = 3$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ необходимо найти ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ при условии, что $|q| < 1$.

Общий член геометрической прогрессии задается формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя эту формулу, выразим члены прогрессии из условия задачи через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1q$

$b_3 = b_1q^2$

$b_4 = b_1q^3$

Подставим эти выражения в данные уравнения:

$b_2 - b_4 = b_1q - b_1q^3 = 1.5$

$b_1 - b_3 = b_1 - b_1q^2 = 3$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b_1q(1-q^2) = 1.5 \\ b_1(1-q^2) = 3 \end{cases}$

Разделим первое уравнение системы на второе (при условии, что $b_1(1-q^2) \neq 0$):

$\frac{b_1q(1-q^2)}{b_1(1-q^2)} = \frac{1.5}{3}$

Сократив $b_1(1-q^2)$, получим:

$q = 0.5$

Поскольку $|q| = |0.5| < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ во второе уравнение системы:

$b_1(1 - (0.5)^2) = 3$

$b_1(1 - 0.25) = 3$

$b_1 \cdot 0.75 = 3$

$b_1 = \frac{3}{0.75} = \frac{3}{3/4} = 4$

Теперь, зная $b_1 = 4$ и $q = 0.5$, можем вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{4}{1 - 0.5} = \frac{4}{0.5} = 8$

Ответ: 8.