Номер 1, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 1, страница 97.

Условие.

Повторяем теорию

1. Заполните пропуски.

1) Если первый член геометрической прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, причём $q \neq$ _______, то сумму $n$ первых членов этой прогрессии можно найти по формуле $S_n =$ _______

2) Если знаменатель $q$ геометрической прогрессии равен 1, то сумма её $n$ первых членов $S_n =$ _______

Решение.

1) Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ обозначается как $S_n$. По определению, $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$.
Используя формулу $n$-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$, мы можем записать сумму в виде:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$.
Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии $q$:
$qS_n = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$.
Теперь вычтем из второго равенства первое:
$qS_n - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$.
После сокращения подобных членов получим:
$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$.
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.
Чтобы найти $S_n$, нужно разделить обе части на $(q - 1)$. Это действие корректно только в том случае, если делитель не равен нулю, то есть $q - 1 \neq 0$, что эквивалентно $q \neq 1$.
Следовательно, при $q \neq 1$ формула для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Таким образом, пропуски в предложении заполняются следующим образом:
Если первый член геометрической прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, причём $q \neq 1$, то сумму $n$ первых членов этой прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Ответ: $1$; $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

2) Рассмотрим особый случай, когда знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен 1.
В этом случае каждый следующий член прогрессии равен предыдущему, так как умножается на 1. То есть все члены прогрессии равны первому члену $b_1$:
$b_1$
$b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot 1 = b_1$
$b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot 1 = b_1$
...
$b_n = b_1$
Сумма $n$ первых членов такой прогрессии будет суммой $n$ одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $b_1$:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}}$.
Такая сумма равна произведению количества слагаемых ($n$) на величину слагаемого ($b_1$).
$S_n = n \cdot b_1$.
Таким образом, пропуск в предложении заполняется следующим образом:
Если знаменатель $q$ геометрической прогрессии равен 1, то сумма её $n$ первых членов $S_n = n \cdot b_1$.
Ответ: $n \cdot b_1$.