Номер 15, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 24. Геометрическая прогрессия - номер 15, страница 96.

Условие.

15. При каком значении x значения выражений $x - 13$, $x - 5$ и $3x + 5$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Если значения выражений $x - 13$, $x - 5$ и $3x + 5$ являются последовательными членами геометрической прогрессии, то должно выполняться равенство

$(x - 5)^2 = $

Ответ:

Решение.

Если значения выражений $x - 13$, $x - 5$ и $3x + 5$ являются последовательными членами геометрической прогрессии, то для них должно выполняться характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних.

Запишем это свойство в виде уравнения:

$(x - 5)^2 = (x - 13)(3x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$x^2 - 10x + 25 = 3x^2 + 5x - 39x - 65$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 10x + 25 = 3x^2 - 34x - 65$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - x^2 - 34x + 10x - 65 - 25 = 0$

$2x^2 - 24x - 90 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 12x - 45 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней должна быть равна 12, а их произведение -45.

$x_1 + x_2 = 12$

$x_1 \cdot x_2 = -45$

Подбором находим корни: $x_1 = 15$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо найти члены прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. При $x = 15$:

Найдем члены прогрессии, подставив значение $x=15$ в исходные выражения:

Первый член: $b_1 = x - 13 = 15 - 13 = 2$

Второй член: $b_2 = x - 5 = 15 - 5 = 10$

Третий член: $b_3 = 3x + 5 = 3(15) + 5 = 45 + 5 = 50$

Получаем геометрическую прогрессию: 2, 10, 50.

2. При $x = -3$:

Найдем члены прогрессии, подставив значение $x=-3$ в исходные выражения:

Первый член: $b_1 = x - 13 = -3 - 13 = -16$

Второй член: $b_2 = x - 5 = -3 - 5 = -8$

Третий член: $b_3 = 3x + 5 = 3(-3) + 5 = -9 + 5 = -4$

Получаем геометрическую прогрессию: -16, -8, -4.

Ответ: при $x=15$ члены прогрессии равны 2, 10, 50; при $x=-3$ члены прогрессии равны -16, -8, -4.