Номер 12, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 4. Числовые последовательности. Параграф 24. Геометрическая прогрессия - номер 12, страница 94.

Условие.

12. Какие четыре числа надо вставить между числами $\frac{4}{9}$ и 108, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Решение.

Число $\frac{4}{9}$ является первым членом искомой прогрессии, число 108 — членом.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть искомая геометрическая прогрессия обозначается как $b_n$. По условию задачи, первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{4}{9}$.

Нужно вставить четыре числа между $\frac{4}{9}$ и 108. Это означает, что всего в последовательности будет $1$ (первое число) $+ 4$ (вставленные числа) $+ 1$ (последнее число) $= 6$ членов. Таким образом, число $\frac{4}{9}$ является первым членом искомой прогрессии, а число 108 — шестым членом.

Итак, мы имеем: $b_1 = \frac{4}{9}$ и $b_6 = 108$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Подставим в формулу известные значения для $n=6$, чтобы найти знаменатель $q$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$

$108 = \frac{4}{9} \cdot q^5$

Выразим $q^5$ из этого уравнения:

$q^5 = 108 : \frac{4}{9} = 108 \cdot \frac{9}{4}$

$q^5 = \frac{108 \cdot 9}{4} = 27 \cdot 9 = 243$

Так как $243 = 3^5$, то $q^5 = 3^5$, откуда следует, что знаменатель прогрессии $q = 3$.

Теперь найдем четыре искомых числа, которые являются вторым, третьим, четвертым и пятым членами прогрессии. Для этого последовательно умножим предыдущий член на знаменатель $q=3$:

$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{4}{9} \cdot 3 = \frac{4}{3}$

$b_3 = b_2 \cdot q = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$

$b_4 = b_3 \cdot q = 4 \cdot 3 = 12$

$b_5 = b_4 \cdot q = 12 \cdot 3 = 36$

Проверка: $b_6 = b_5 \cdot q = 36 \cdot 3 = 108$. Значение совпадает с условием.

Ответ: $\frac{4}{3}$, 4, 12, 36.