Номер 8, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 8, страница 78.

Условие.

8. При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a-6)x^2+(12-2a)x+7>0$ выполняется при всех действительных значениях $x$?

Решение.

Для того чтобы неравенство $(a-6)x^2+(12-2a)x+7 > 0$ выполнялось при всех действительных значениях $x$, необходимо рассмотреть два случая.

1. Случай, когда выражение в левой части является линейным или константой.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a-6=0$, откуда $a=6$. Подставим значение $a=6$ в исходное неравенство:

$(6-6)x^2 + (12-2 \cdot 6)x + 7 > 0$

$0 \cdot x^2 + (12-12)x + 7 > 0$

$7 > 0$

Полученное неравенство $7 > 0$ является верным и не зависит от значения $x$. Следовательно, при $a=6$ исходное неравенство выполняется для всех действительных $x$. Таким образом, $a=6$ является одним из решений.

2. Случай, когда выражение в левой части является квадратным трехчленом.

Это происходит при $a-6 \neq 0$. В этом случае левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = (a-6)x^2+(12-2a)x+7$. Графиком этой функции является парабола.

Чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех действительных $x$, необходимо, чтобы вся парабола находилась выше оси абсцисс. Для этого должны одновременно выполняться два условия:

1) Старший коэффициент должен быть положительным, то есть ветви параболы должны быть направлены вверх:

$a-6 > 0 \implies a > 6$

2) Квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней, то есть парабола не должна пересекать ось абсцисс. Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть отрицательным:

$D < 0$

Найдем дискриминант:

$D = (12-2a)^2 - 4(a-6)(7) = (2(6-a))^2 - 28(a-6) = 4(6-a)^2 - 28(a-6) = 4(a-6)^2 - 28(a-6)$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$4(a-6)^2 - 28(a-6) < 0$

Разделим обе части на 4 и вынесем общий множитель $(a-6)$:

$(a-6)( (a-6) - 7 ) < 0$

$(a-6)(a-13) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $6 < a < 13$.

Теперь необходимо найти пересечение решений двух условий для этого случая:

$\begin{cases} a > 6 \\ 6 < a < 13 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $a \in (6, 13)$.

Объединение результатов.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, получаем:

Из первого случая: $a=6$.

Из второго случая: $a \in (6, 13)$.

Общим решением является объединение этих множеств, то есть $a \in [6, 13)$.

Ответ: $a \in [6, 13)$.