Номер 3, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 3, страница 78.

Условие.

3. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ xy + y^2 = 3. \end{cases} $

Решение.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ xy + y^2 = 3 \end{cases}$

Для решения данной системы можно применить несколько методов. Рассмотрим один из них, основанный на сложении и вычитании уравнений.

Сначала сложим оба уравнения системы:

$(x^2 + xy) + (xy + y^2) = 6 + 3$

$x^2 + 2xy + y^2 = 9$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы, поэтому мы можем записать:

$(x+y)^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что существует два возможных значения для суммы $(x+y)$:

1) $x+y = 3$

2) $x+y = -3$

Теперь вычтем второе уравнение системы из первого:

$(x^2 + xy) - (xy + y^2) = 6 - 3$

$x^2 - y^2 = 3$

Применив формулу разности квадратов к левой части, получим:

$(x-y)(x+y) = 3$

Теперь мы можем рассмотреть два случая, используя найденные значения для $(x+y)$.

Случай 1: $x+y=3$

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:

$(x-y) \cdot 3 = 3$

$x-y = 1$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $2x = 4$, откуда $x = 2$.

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение: $2+y = 3$, откуда $y = 1$.

Первое решение системы: $(2; 1)$.

Случай 2: $x+y=-3$

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:

$(x-y) \cdot (-3) = 3$

$x-y = -1$

Получаем новую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $2x = -4$, откуда $x = -2$.

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение: $-2+y = -3$, откуда $y = -1$.

Второе решение системы: $(-2; -1)$.

Проверка найденных решений:

Для пары $(2; 1)$:
$2^2 + 2 \cdot 1 = 4+2=6$ (верно)
$2 \cdot 1 + 1^2 = 2+1=3$ (верно)

Для пары $(-2; -1)$:
$(-2)^2 + (-2)(-1) = 4+2=6$ (верно)
$(-2)(-1) + (-1)^2 = 2+1=3$ (верно)

Ответ: $(2; 1), (-2; -1)$.