Номер 7, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 7, страница 77.

Условие.

7. Найдите сумму

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{15}} + \frac{1}{\sqrt{15} + \sqrt{22}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{162} + \sqrt{169}}$

Решение.

Для решения этой задачи преобразуем каждое слагаемое суммы, избавляясь от иррациональности в знаменателе. Общий вид слагаемого в сумме можно записать как $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.

$\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}$

Заметим, что для каждого слагаемого в исходной сумме разность чисел под корнем в знаменателе постоянна:

$8 - 1 = 7$

$15 - 8 = 7$

$22 - 15 = 7$

...

$169 - 162 = 7$

Следовательно, для каждого слагаемого $b - a = 7$. Тогда каждое слагаемое можно преобразовать к виду $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{7}$.

Применим это преобразование ко всей сумме $S$:

$S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{15}} + \frac{1}{\sqrt{15} + \sqrt{22}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{162} + \sqrt{169}}$

$S = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{1}}{7} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{8}}{7} + \frac{\sqrt{22} - \sqrt{15}}{7} + \dots + \frac{\sqrt{169} - \sqrt{162}}{7}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{7}$ за скобки:

$S = \frac{1}{7} [(\sqrt{8} - \sqrt{1}) + (\sqrt{15} - \sqrt{8}) + (\sqrt{22} - \sqrt{15}) + \dots + (\sqrt{169} - \sqrt{162})]$

Внутри скобок большинство слагаемых взаимно уничтожаются (такая сумма называется телескопической). Слагаемое $\sqrt{8}$ из первой скобки сокращается с $-\sqrt{8}$ из второй, $\sqrt{15}$ из второй — с $-\sqrt{15}$ из третьей, и так далее. В результате останутся только первое и последнее слагаемые во всей сумме:

$S = \frac{1}{7} [-\sqrt{1} + \sqrt{169}]$

Теперь вычислим окончательное значение:

$S = \frac{1}{7} [-1 + 13] = \frac{1}{7} \cdot 12 = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$