Номер 6, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 6, страница 78.

Условие.

6. На четырёх карточках записаны числа 3, 4, 5 и 6. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным числу 3?

Решение.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов (N).
Нам нужно выбрать 2 карточки из 4 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, количество способов сделать это равно числу сочетаний из 4 по 2.
$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Таким образом, существует 6 возможных пар карточек: {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}.

2. Найдем число благоприятных исходов (M).
Благоприятным исходом является тот, при котором произведение чисел на двух карточках кратно 3. Произведение двух чисел делится на 3, если хотя бы один из сомножителей делится на 3.
В наборе чисел {3, 4, 5, 6} на 3 делятся числа 3 и 6.
Проще всего найти число неблагоприятных исходов и вычесть его из общего числа исходов. Неблагоприятный исход — это тот, при котором произведение не делится на 3. Это возможно только в том случае, если оба выбранных числа не делятся на 3.
Числа, не кратные 3, в нашем наборе — это 4 и 5. Из них можно составить только одну пару: {4, 5}. Произведение $4 \times 5 = 20$, что не кратно 3.
Следовательно, существует только 1 неблагоприятный исход.
Тогда число благоприятных исходов: $M = N - 1 = 6 - 1 = 5$.
(Это пары {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 6}, {5, 6}).

3. Найдем вероятность.
Теперь можем рассчитать вероятность, подставив найденные значения $M$ и $N$ в формулу:
$P = \frac{M}{N} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$