Номер 4, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 4, страница 78.

Условие.

4. Две строительные бригады, работая вместе, могут заасфальтировать участок трассы за 20 дней. Если первая бригада заасфальтирует $\frac{1}{6}$ часть участка трассы, а затем её заменит вторая, то весь участок трассы будет заасфальтирован за 35 дней. За сколько дней каждая из бригад может заасфальтировать этот участок трассы, работая самостоятельно?

Решение.

Обозначим за $x$ количество дней, за которое первая бригада может самостоятельно заасфальтировать весь участок, а за $y$ – количество дней, за которое это может сделать вторая бригада.

Производительность труда (часть участка, асфальтируемая за один день) для первой бригады равна $\frac{1}{x}$, а для второй бригады – $\frac{1}{y}$.

Согласно первому условию, работая вместе, они асфальтируют участок за 20 дней. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Таким образом, получаем первое уравнение: $$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 20 = 1$$ $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $$

Согласно второму условию, первая бригада сначала асфальтирует $\frac{1}{6}$ часть участка. Время, которое она на это затратит, равно: $$ t_1 = \frac{1/6}{1/x} = \frac{x}{6} \text{ дней} $$ Затем вторая бригада асфальтирует оставшуюся часть участка, которая составляет $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Время, которое вторая бригада на это затратит, равно: $$ t_2 = \frac{5/6}{1/y} = \frac{5y}{6} \text{ дней} $$ Общее время работы составляет 35 дней, следовательно, получаем второе уравнение: $$ t_1 + t_2 = 35 $$ $$ \frac{x}{6} + \frac{5y}{6} = 35 $$ Умножив обе части на 6, получим: $$ x + 5y = 210 $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ x + 5y = 210 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$: $$ x = 210 - 5y $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ \frac{1}{210 - 5y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $$ Приведем левую часть к общему знаменателю: $$ \frac{y + (210 - 5y)}{y(210 - 5y)} = \frac{1}{20} $$ $$ \frac{210 - 4y}{210y - 5y^2} = \frac{1}{20} $$ Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ 20(210 - 4y) = 210y - 5y^2 $$ $$ 4200 - 80y = 210y - 5y^2 $$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ 5y^2 - 210y - 80y + 4200 = 0 $$ $$ 5y^2 - 290y + 4200 = 0 $$ Разделим все уравнение на 5 для упрощения: $$ y^2 - 58y + 840 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Найдем корни: Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 840 = 3364 - 3360 = 4$. $$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + 2}{2} = \frac{60}{2} = 30 $$ $$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - 2}{2} = \frac{56}{2} = 28 $$ Мы получили два возможных значения для $y$. Найдем соответствующие значения $x$ для каждого из них.

1. Если $y_1 = 30$ (дней), то: $$ x_1 = 210 - 5y_1 = 210 - 5 \cdot 30 = 210 - 150 = 60 \text{ (дней)} $$ Этот вариант возможен.

2. Если $y_2 = 28$ (дней), то: $$ x_2 = 210 - 5y_2 = 210 - 5 \cdot 28 = 210 - 140 = 70 \text{ (дней)} $$ Этот вариант также возможен.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Существует два решения: первая бригада может заасфальтировать участок за 60 дней, а вторая – за 30 дней; или первая бригада может заасфальтировать участок за 70 дней, а вторая – за 28 дней.