Номер 4, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 4, страница 77.

Условие.

4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 162, а сумма трёх её первых членов равна 156. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ (при условии $|q| < 1$).
Сумма первых трёх членов прогрессии $S_3$ вычисляется по формуле $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2)$.

Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:
$\begin{cases} S = \frac{b_1}{1-q} = 162 \\ S_3 = b_1(1+q+q^2) = 156 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = 162(1-q)$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$162(1-q)(1+q+q^2) = 156$

Воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. В нашем случае $(1-q)(1+q+q^2) = 1-q^3$.
Тогда уравнение примет вид:
$162(1-q^3) = 156$

Решим полученное уравнение, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$1 - q^3 = \frac{156}{162}$
Сократим дробь в правой части: $\frac{156}{162} = \frac{156 \div 6}{162 \div 6} = \frac{26}{27}$.
$1 - q^3 = \frac{26}{27}$
$q^3 = 1 - \frac{26}{27}$
$q^3 = \frac{27}{27} - \frac{26}{27} = \frac{1}{27}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$

Значение $q = 1/3$ удовлетворяет условию сходимости бесконечной геометрической прогрессии, так как $|1/3| < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя выражение, полученное ранее:
$b_1 = 162(1-q) = 162(1 - \frac{1}{3}) = 162 \cdot \frac{2}{3} = \frac{324}{3} = 108$

Таким образом, первый член прогрессии равен 108, а её знаменатель равен $1/3$.

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 108$, знаменатель прогрессии $q = 1/3$.