Номер 4, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 4, страница 76.

Условие.

4. Найдите все натуральные значения $n$, при которых выполняется неравенство $3^n \ge 12n - 9$.

Решение.

Требуется найти все натуральные значения $n$, для которых выполняется неравенство $3^n \ge 12n - 9$.

Данный тип неравенства, содержащий показательную и линейную функции, удобно решать, проверив несколько первых натуральных значений $n$, а затем применив метод математической индукции для доказательства общего случая.

1. Проверка для малых значений $n$:

При $n=1$:
Левая часть: $3^1 = 3$
Правая часть: $12(1) - 9 = 3$
Неравенство $3 \ge 3$ выполняется.

При $n=2$:
Левая часть: $3^2 = 9$
Правая часть: $12(2) - 9 = 24 - 9 = 15$
Неравенство $9 \ge 15$ не выполняется.

При $n=3$:
Левая часть: $3^3 = 27$
Правая часть: $12(3) - 9 = 36 - 9 = 27$
Неравенство $27 \ge 27$ выполняется.

При $n=4$:
Левая часть: $3^4 = 81$
Правая часть: $12(4) - 9 = 48 - 9 = 39$
Неравенство $81 \ge 39$ выполняется.

На основе этих проверок можно выдвинуть гипотезу, что неравенство верно для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 3$.

2. Доказательство методом математической индукции для $n \ge 3$:

Докажем, что неравенство $3^n \ge 12n - 9$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

База индукции:
При $n=3$ мы уже проверили, что $3^3 \ge 12(3) - 9$, то есть $27 \ge 27$. Утверждение верно.

Индукционное предположение:
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$. То есть, пусть $3^k \ge 12k - 9$.

Индукционный шаг:
Докажем, что из предположения следует верность неравенства для $n = k+1$, то есть $3^{k+1} \ge 12(k+1) - 9$. Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$:$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k$. Используя индукционное предположение ($3^k \ge 12k - 9$), мы можем записать:$3 \cdot 3^k \ge 3 \cdot (12k - 9) = 36k - 27$. Теперь нам нужно показать, что полученное выражение больше или равно правой части исходного неравенства для $n=k+1$, которая равна $12(k+1) - 9 = 12k + 12 - 9 = 12k + 3$. Для этого докажем, что $36k - 27 \ge 12k + 3$ при $k \ge 3$:$36k - 12k \ge 3 + 27$$24k \ge 30$$k \ge \frac{30}{24}$$k \ge \frac{5}{4}$$k \ge 1.25$Поскольку наш индукционный шаг рассматривается для $k \ge 3$, условие $k \ge 1.25$ выполняется. Следовательно, мы можем утверждать, что $3^{k+1} \ge 36k - 27 \ge 12k+3$. Таким образом, $3^{k+1} \ge 12(k+1) - 9$. Шаг индукции доказан.

Заключение:На основании принципа математической индукции, неравенство $3^n \ge 12n - 9$ справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 3$. Объединяя этот результат с проверкой для $n=1$ и $n=2$, мы приходим к выводу, что исходное неравенство выполняется для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 3$.

Ответ: $n=1$ и все натуральные числа $n \ge 3$.